Question

已知橢圓G的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，長軸在x軸上，離心率為

3

2

，兩個焦點(diǎn)分別為F₁和F₂，橢圓G上一點(diǎn)到F₁和F₂的距離之和為12．圓C：x²+y²+2x-4y-21=0的圓心為點(diǎn)A_k．
（1）求橢圓G的方程；
（2）求△A_kF₁F₂的面積．

Answer 1

考點(diǎn)：橢圓的簡單性質(zhì)

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）橢圓G的標(biāo)準(zhǔn)方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1，（a＞b＞0），求解a，b 即可．（2）利用面積公式求解；點(diǎn)A₁到x軸的距離為2，△A₁F₁F₂的面積為

1

2

|F₁F₂|×2，代入求解即可．

解答： 解：（1）設(shè)橢圓G的標(biāo)準(zhǔn)方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1，（a＞b＞0），
則2a=12，所以a=6，
因為離心率為

3

2

，
所以c=a•e=3

3

．b²=a²-c²=9，
所以橢圓G的標(biāo)準(zhǔn)方程為

x2

36

+

y2

9

=1，
（2）圓C：x²+y²+2x-4y-21=0的方程化為（x+1）²+（y-2）²=25，
所以點(diǎn)A₁的坐標(biāo)為（-1，2）．
點(diǎn)A₁到x軸的距離為2，
△A₁F₁F₂的面積為

1

2

|F₁F₂|×2=×2a•2=a=6．

點(diǎn)評：本題考察了橢圓的性質(zhì)，方程，定義，屬于中檔題，有點(diǎn)難度．