在數(shù)列{an}中,a1=1,當(dāng)n≥2時(shí),其前n項(xiàng)和Sn滿足Sn2=an(Sn-
1
2

(1)證明:(
1
Sn
)是等差數(shù)列
(2)設(shè)bn=
Sn
2n+1
)n∈N*),求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn
考點(diǎn):數(shù)列的求和
專題:計(jì)算題,等差數(shù)列與等比數(shù)列
分析:(1)利用an=Sn-Sn-1(n≥2)將Sn2=an(Sn-
1
2
)
,轉(zhuǎn)化為Sn2=(Sn-Sn-1)(Sn-
1
2
)
,得出
1
Sn
-
1
Sn-1
=2
,利用定義證明{
1
Sn
}是等差數(shù)列
(2)由(1)得出bn=
Sn
2n+1
=
1
(2n-1)(2n+1)
=
1
2
(
1
2n-1
-
1
2n+1
)
,裂項(xiàng)后計(jì)算化簡(jiǎn)求和.
解答: 解:(1)證明:由Sn2=an(Sn-
1
2
)
,an=Sn-Sn-1(n≥2)
Sn2=(Sn-Sn-1)(Sn-
1
2
)

即2SnSn-1=Sn-1-Sn
由題意知SnSn-1≠0,所以有
1
Sn
-
1
Sn-1
=2

所以(
1
Sn
)
是以
1
S1
=
1
a1
=1
為首項(xiàng),公差為2的等差數(shù)列.
(2)由(1)可得
1
Sn
=1+2(n-1)=2n-1
…所以Sn=
1
2n-1

所以bn=
Sn
2n+1
=
1
(2n-1)(2n+1)
=
1
2
(
1
2n-1
-
1
2n+1
)

所以Tn=b1+b2+…+bn=
1
2
(1-
1
3
)+
1
2
(
1
3
-
1
5
)+…+
1
2
(
1
2n-1
-
1
2n+1
)
=
1
2
(1-
1
2n+1
)=
n
2n+1
點(diǎn)評(píng):本題考查數(shù)列的判定,通項(xiàng)公式,和的計(jì)算,考查轉(zhuǎn)化構(gòu)造,計(jì)算能力.本題中的數(shù)列求和法為裂項(xiàng)法.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

lg2+lg5的值是( 。
A、2B、5C、7D、1

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,在棱長為a的正方體ABCD-A1B1C1D1
(1)畫出二面角A1-BD-A的平面角;
(2)求出二面角A1-BD-A的正切值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=
1+ln(x+1)
x
(x>0).
(Ⅰ)試判斷函數(shù)f(x)在(0,+∞)上單調(diào)性并證明你的結(jié)論;
(Ⅱ)若f(x)>
k
x+1
對(duì)于?x∈(0,+∞)恒成立,求正整數(shù)k的最大值;
(Ⅲ)求證:(1+1×2)(1+2×3)(1+3×4)…[1+n(n+1)]>e2n-3

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知P(-8,y)為角α終邊上的一點(diǎn),且sinα=
3
5
,分別求y,cosα和tanα的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

在四棱錐P-ABCD中,AB∥CD,AB⊥AD,AB=4,AD=2
2
,CD=2,PA⊥平面ABCD.PA=4
(1)求證:BD⊥平面PAC;
(2)求異面直AC與PD所成角的余弦值;
(3)設(shè)Q為線段PB上一點(diǎn),且直線QC與平面PAC所成角的正弦值為
3
3
,求
PQ
PB
的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

在平面直角坐標(biāo)系xoy中,已知曲線C1:3x2+4y2=1,以平面直角坐標(biāo)系xoy的原點(diǎn)O為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸,取相同的單位長度建立極坐標(biāo)系,已知直線l:ρ(2cosθ-sinθ)=6.
(1)將曲線C1上的所有點(diǎn)的橫坐標(biāo),縱坐標(biāo)分別伸長為原來的
3
、2倍后得到曲線C2,試寫出直線l的直角坐標(biāo)方程和曲線C2的參數(shù)方程;
(2)點(diǎn)P為曲線C2上一點(diǎn),求點(diǎn)P到直線l的距離最大值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知|
a
|=2,|
b
|=
3
,(2
a
-3
b
)•(2
a
+
b
)=19,
(1)求
a
b
的值;
(2)若
a
⊥(
a
b
),求λ的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=4x3+ax2+bx+5在x=-1與x=
3
2
處有極值.
(1)寫出函數(shù)的解析式;
(2)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間; 
(3)求f(x)在[-1,2]上的最值.

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