已知函數(shù)f（x）=2cosxsin（x+
π
3
）-
3
sin2x+sinxcosx．
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期T；
（2）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（3）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，
π
3
]上的值域．
考點(diǎn)：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,三角函數(shù)的周期性及其求法
專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)
分析：（1）將函數(shù)進(jìn)行化簡(jiǎn)，根據(jù)三角函數(shù)的周期公式即可求函數(shù)f（x）的最小正周期T；
（2）由三角函數(shù)的單調(diào)性即可求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（3）根據(jù)三角函數(shù)的單調(diào)性即可求函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，
π
3
]上的值域．
解答： 解：f(x)=2cosx(
1
2
sinx+
3
2
cosx)-
3
sin2x+sinxcosx=2sinxcosx+
3
(cos2x-sin2x)=sin2x+
3
cos2x=2sin（2x+
π
3
）
（1）則函數(shù)f（x）的最小正周期T=
2π
2
=π；
（2）由-
π
2
+2kπ≤2x+
π
3
≤
π
2
+2kπ，解得-
5π
12
+kπ≤x≤kπ+
π
12
，k∈Z，
即函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間[-
5π
12
，kπ+
π
12
]，k∈Z；
（3）若x∈[0，
π
3
]，則2x+
π
3
∈[
π
3
，π]，
則當(dāng)2x+
π
3
=
π
2
時(shí)，函數(shù)f（x）取得最大值f（x）=2，
當(dāng)2x+
π
3
=π，函數(shù)f（x）取得最小值f（x）=2×0=0，
即函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，
π
3
]上的值域[0，2]．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)的周期和單調(diào)區(qū)間和值域的求解，要求熟練掌握三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)．
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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=
cosx (-π≤x＜0)
sinx  (0≤x≤π)

（1）若f（x）=
1
2
，求x的值；
（2）若a為常數(shù)，且a∈R，試討論方程f（x）=a的解的個(gè)數(shù)．

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（1）在等差數(shù)列{an}中，a1=1，a3=3求數(shù)列前6項(xiàng)的和；
（2）在等比數(shù)列{an}中，a1=1，a3=4且an＞0，求a5的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=ax+
a-1
x
-lnx．
（1）當(dāng)a≤
1
2
時(shí)，試討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（2）證明：對(duì)任意的n∈N+，有
ln1
1
+
ln2
2
+…+
ln(n-1)
n-1
+
lnn
n
＜
n2
2(n+1)
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)y=f（x）的圖象如圖（拋物線的一部份與兩條射線），求f（x）的解析式

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知集合A={x|3x2+x-2＜0，x∈R}，集合B={x|
4x-3
x-3
＞0，x∈R}
（1）求集合A和B；   
（2）求∁UA∩B與A∪∁UB．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

在公差不為零的等差數(shù)列{an}中，a1，a2，a4成等比數(shù)列，且a1+a2+a4=7
（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an
（2）求數(shù)列{
3nan
2n-1
}的前n項(xiàng)和Sn．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

設(shè)函數(shù)f（x）=lnx-ax+
1-a
x
-1．
（Ⅰ）當(dāng)a=1時(shí)，求曲線f（x）在x=1處的切線方程；
（Ⅱ）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（Ⅲ）當(dāng)a=
1
3
時(shí)，設(shè)函數(shù)g（x）=x2-2bx-
5
12
，若對(duì)于?x1∈[1，2]，?x2∈[0，1]，使f（x1）=g（x2）成立，求實(shí)數(shù)b的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

若直角坐標(biāo)平面內(nèi)兩點(diǎn)P，Q滿足條件：①都P，Q在函數(shù)y=f（x）的圖象上；②P，Q關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則稱（P，Q）是函數(shù)y=f（x）的一個(gè)“伙伴點(diǎn)組”（點(diǎn)組（P，Q）與（Q，P）看作同一個(gè)“伙伴點(diǎn)組”）．已知函數(shù)f（x）=
k(x+1)，  x＜0
x2+1，  x≥0
有兩個(gè)“伙伴點(diǎn)組”，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是
 
．

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