Question

如圖，四棱錐S-ABCD中，△SAB是正三角形，四邊形ABCD為正方形，平面SAB⊥平面ABCD，AB=BC=4，E為SB中點，點F在線段BC上．
（Ⅰ）當EF⊥BD時，求BF的長度；
（Ⅱ）設二面角E-AF-B的大小為θ，當點F在線段BC中點時，求tanθ．

Answer 1

考點：與二面角有關的立體幾何綜合題,空間中直線與直線之間的位置關系

專題：綜合題,空間位置關系與距離,空間角

分析：（Ⅰ）取DS中點為G，連接GE，GF，則GE∥BD，取AS的中點H，連接BH，取GM=BF，利用勾股定理BF的長度；
（Ⅱ）求出S_△AFB=

1

2

•4•2=4，S_△EAF=

1

2

•2

3

•2

2

=2

6

，可得cosθ=

4

2 6

，即可求出tanθ．

解答： 解：（Ⅰ）取DS中點為G，連接GE，GF，則GE∥BD，
∵EF⊥BD，∴GE⊥FE，
取AS的中點H，連接BH，取GM=BF，則設BF=x，
∵△SAB是正三角形，四邊形ABCD為正方形，AB=BC=4，
∴GF²=（2-x）²+（2

3

）²=（2

2

）²+2²+x²，
∴x=1；
（Ⅱ）當點F在線段BC中點時，S_△AFB=

1

2

•4•2=4，
△EAF中，AE=2

3

，EF=2

2

，AE⊥EF，S_△EAF=

1

2

•2

3

•2

2

=2

6

，
∴cosθ=

4

2 6

，
∴sinθ=

2 2

2 6

，
∴tanθ=

2

2

．

點評：本題考查面面垂直，考查面面角，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．