5.已知角α(0<α<$\frac{π}{2}$)的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)(cos2β,1+sin3βcosβ-cos3βsinβ),($\frac{π}{2}$<β<π,且β≠$\frac{3π}{4}$),則α-β=( 。
A.-$\frac{7π}{4}$B.-$\frac{3π}{4}$C.-$\frac{π}{4}$D.$\frac{5π}{4}$

分析 利用兩角差的正弦化簡(jiǎn)點(diǎn)P(cos2β,1+sin3βcosβ-cos3βsinβ),求出P到原點(diǎn)的距離,再由任意角的三角函數(shù)的定義列式,結(jié)合0≤α<$\frac{π}{2}$得到β的具體范圍,把定義式化簡(jiǎn),作和后平方得到sin2α=cos2β=sin($\frac{π}{2}$-2β).最后結(jié)合已知角的范圍求得α-β的值.

解答 解:點(diǎn)P(cos2β,1+sin3βcosβ-cos3βsinβ),即點(diǎn)P(cos2β,1+sin2β),
∴|OP|=$\sqrt{2}$|sinβ+cosβ|.
由題意可得cosα>0,sinα≥0.
∵β∈($\frac{π}{2}$,π),∴2β∈(π,2π),由cos2β>0,知2β∈($\frac{3π}{2}$,2π),則β∈($\frac{3π}{4}$,π),
∴sinβ+cosβ<0.
則cosα=-$\frac{co{s}^{2}β-si{n}^{2}β}{\sqrt{2}(cosβ+sinβ)}$=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$(cosβ-sinβ)①,
sinα=-$\frac{(sinβ+cosβ)^{2}}{\sqrt{2}(sinβ+cosβ)}$=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$(sinβ+cosβ) ②,
由①得,cosβ-sinβ=-$\sqrt{2}$cosα,
由②得,cosβ+sinβ=-$\sqrt{2}$sinα,
兩式作和得:2cosβ=-$\sqrt{2}$(sinα+cosα),
兩邊平方并整理得:sin2α=cos2β=sin($\frac{π}{2}$-2β).
∵0≤α<$\frac{π}{2}$,∴2α∈[0,π),又2β∈($\frac{3π}{2}$,2π),
∴$\frac{π}{2}$-2β+2α=-π,則α-β=-$\frac{3π}{4}$.
故選:B.

點(diǎn)評(píng) 本題考查任意角的三角函數(shù)的定義,考查同角三角函數(shù)基本關(guān)系式的應(yīng)用,考查學(xué)生靈活解決問(wèn)題和處理問(wèn)題的能力,屬有一定難度題目.

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A.A${\;}_{3}^{2}$C${\;}_{197}^{3}$+C${\;}_{3}^{3}$C${\;}_{197}^{2}$種
B.C${\;}_{3}^{2}$C${\;}_{198}^{3}$種
C.C${\;}_{200}^{5}$-C${\;}_{197}^{5}$種
D.C${\;}_{200}^{5}$-C${\;}_{3}^{1}$C${\;}_{197}^{4}$種

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C.若 m⊥α,m⊥β,則α∥βD.若 m∥α,m?β,α∩β=n,則 m∥n

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