Question

滿足C_n¹+2C_n²+3C_n³+…+nC_nⁿ＜200的最大自然數(shù)n=________．

Answer 1

6
分析：再解不等式即可令t=C_n¹+2C_n²+3C_n³+…+nC_nⁿ，則有t=C_n^n-1+2C_n^n-2+3C_n^n-3+…+（n-1）C_n¹+nC_nⁿ，則可得2t=n×2ⁿ+nC_nⁿ，
解答：由題意令t=C_n¹+2C_n²+3C_n³+…+nC_nⁿ，
則有t=C_n^n-1+2C_n^n-2+3C_n^n-3+…+（n-1）C_n¹+nC_nⁿ，
上述兩等式相加得2t=n×2ⁿ，
故n×2^n-1＜400
驗(yàn)證知，最大的n是6
故答案為：6．
點(diǎn)評(píng)：本題考查組合及組合數(shù)公式，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題設(shè)中的形式，利用倒序相加的方法對(duì)不等式的左邊進(jìn)行化簡(jiǎn)，此處考查到了二項(xiàng)式定理，本題較抽象，知識(shí)性強(qiáng)，解題時(shí)要注意公式與定理的使用．