Question

討論函數(shù)f(x)＝的單調(diào)性，并求其值域．

Answer 1

答案：
解析：

　　解：∵f(x)的定義域?yàn)?B>R，令u＝x²－2x，則f(u)＝()^u，又∵u＝x²－2x＝(x－1)²－1在(－∞，1]上是減函數(shù)，即當(dāng)x₁＜x₂≤1時(shí)，有u₁＞u₂．

　　又∵f(u)＝()^u在其定義域內(nèi)為減函數(shù)，∴f(u₁)＜f(u₂)．

　　∴函數(shù)f(x)在(－∞，1]內(nèi)是增函數(shù)．

　　同理可得，f(x)在[1，＋∞)內(nèi)為減函數(shù)，又∵u＝x²－2x＝(x－1)²－1，∴u≥－1．

　　又∵f(u)＝()^u在[－1，＋∞)上是減函數(shù)，∴0＜f(u)≤()^－1，即f(x)的值域?yàn)?0，2]．

　　點(diǎn)評(píng)：對(duì)于形如y＝a^f(x)(a＞0且a≠1)一類(lèi)的函數(shù)，有以下結(jié)論：

　　(1)函數(shù)y＝a^f(x)的定義域與f(x)的定義域相同．

　　(2)先確定函數(shù)f(x)的值域，再根據(jù)指數(shù)函數(shù)的值域，單調(diào)性，可確定函數(shù)y＝a^f(x)的值域．

　　(3)當(dāng)a＞1時(shí)，函數(shù)y＝a^f(x)與函數(shù)f(x)的單調(diào)性相同；0＜a＜1時(shí)，函數(shù)y＝a^f(x)與函數(shù)f(x)的單調(diào)性?相反．

提示：

函數(shù)f(x)＝可認(rèn)為由函數(shù)y＝()^u與u＝x²－2x“復(fù)合”而成，因而單調(diào)性、值域要統(tǒng)籌考慮二次函數(shù)u＝x²－2x和指數(shù)函數(shù)y＝()^u的性質(zhì)，然后作出解答．