Question

已知圓C₁：x²+y²-4x+2y=0與圓C₂：x²+y²-2y-4=0．
（1）求證兩圓相交；
（2）求兩圓公共弦所在直線的方程；
（3）求過(guò)兩圓的交點(diǎn)且圓心在直線2x+4y=1上的圓的方程．

Answer 1

分析：（1）將圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，求出圓心距及半徑，即可得兩圓相交；
（2）對(duì)兩圓的方程作差即可得出兩圓的公共弦所在的直線方程；
（3）先求兩圓的交點(diǎn)，進(jìn)而可求圓的圓心與半徑，從而可求圓的方程．

解答：（1）證明：圓C₁：x²+y²-4x+2y=0與圓C₂：x²+y²-2y-4=0化為標(biāo)準(zhǔn)方程分別為圓C₁：（x-2）²+（y+1）²=5與圓C₂：x²+（y-1）²=5
∴C₁（2，-1）與圓C₂（0，1），半徑都為

5

∴圓心距為0＜

(2-0)2+(-1-1)2

=2

2

＜2

5

∴兩圓相交；
（2）解：將兩圓的方程作差即可得出兩圓的公共弦所在的直線方程，即
（x²+y²-4x+2y）-（x²+y²-2y-4）=0
即x-y-1=0
（3）解：由（2）得y=x-1代入圓C₁：x²+y²-4x+2y=0，化簡(jiǎn)可得2x²-4x-1=0
∴x=

2± 6

2

當(dāng)x=

2+ 6

2

時(shí)，y=

6

2

；當(dāng)x=

2- 6

2

時(shí)，y=-

6

2

設(shè)所求圓的圓心坐標(biāo)為（a，b），則

(a- 2+ 6 2 )2+(b- 6 2 )2=(a- 2- 6 2 )2+(b+ 6 2 )2 2a+4b=1

∴

a= 3 2 b=- 1 2

∴r2=(

3

2

-

2+ 6

2

)2+(-

1

2

-

6

2

)2=

7

2

∴過(guò)兩圓的交點(diǎn)且圓心在直線2x+4y=1上的圓的方程為(x-

3

2

)2+(y+

1

2

)2=

7

2

點(diǎn)評(píng)：本題重點(diǎn)考查兩圓的位置關(guān)系，考查兩圓的公共弦，考查圓的方程，解題的關(guān)鍵是確定圓的圓心與半徑，綜合性強(qiáng)．