Question

（本小題滿分14分）設(shè)函數(shù)．

（Ⅰ）已知曲線在點處的切線的斜率為，求實數(shù)的值；

（Ⅱ）討論函數(shù)的單調(diào)性；

（Ⅲ）在（Ⅰ）的條件下，求證：對于定義域內(nèi)的任意一個，都有．

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）.           

（Ⅱ）當時，函數(shù)在上單調(diào)遞減；當時，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.                      

（Ⅲ）見解析.

【解析】對于對數(shù)函數(shù)問題，先列出定義域，的定義域為,再根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義在x處導(dǎo)數(shù)為x處切線斜率，列式；

求出導(dǎo)數(shù)，令導(dǎo)數(shù)>0,<0分類討論a的范圍，確定單調(diào)區(qū)間；

都有即

解：（Ⅰ）的定義域為,                             . ………1分

.                                             ………2分

根據(jù)題意，，

所以，即，

解得.                                                   .………4分

（Ⅱ）.

（1）當時，因為，所以，，

所以，函數(shù)在上單調(diào)遞減.                   ………6分

（2）當時，

若，則，，函數(shù)在上單調(diào)遞減；

若，則，，函數(shù)在上單調(diào)遞增.  …8分

綜上所述，當時，函數(shù)在上單調(diào)遞減；當時，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.                          ………9分

（Ⅲ）由（Ⅰ）可知.

設(shè)，即.

.              ………10分

當變化時，，的變化情況如下表：

	－	0	＋
		極小值

是在上的唯一極值點，且是極小值點，從而也是的最小值點可見，                                       .………13分

所以，即，所以對于定義域內(nèi)的每一個，都有.                                                   ………14分