Question

已知數列{a_n}的前n項和為S_n，且滿足S_n＝n²，數列{b_n}滿足b_n＝，T_n為數列{b_n}的前n項和．
(1)求數列{a_n}的通項公式a_n和T_n；
(2)若對任意的n∈N^*，不等式λT_n<n＋(－1)ⁿ恒成立，求實數λ的取值范圍．

Answer 1

（1）a_n＝2n－1.（2）(－∞，0)．

(1)當n＝1時，a₁＝S₁＝1，當n≥2時，a_n＝S_n－S_n－1＝2n－1，驗證當n＝1時，也成立；所以a_n＝2n－1.
b_n＝＝，
所以T_n＝.
(2)由(1)得λ<，
當n為奇數時，λ<＝2n－－1恒成立，
因為當n為奇數時，2n－－1單調遞增，
所以當n＝1時，2n－－1取得最小值為0，此時，λ<0.
當n為偶數時，λ<＝2n＋＋3恒成立，
因為當n為偶數時，2n＋＋3單調遞增，
所以當n＝2時，2n＋＋3取得最小值為.此時，λ<.
綜上所述，對于任意的正整數n，原不等式恒成立，λ的取值范圍是(－∞，0)．