Question

在直角坐標系中，O是坐標原點，P₁（x₁，y₁）、P₂（x₂，y₂）是第一象限的兩個點，若1，x₁，x₂，4依次成等差數列，而1，y₁，y₂，8依次成等比數列，則△OP₁P₂的面積是

1

．

Answer 1

分析：由題設條件可知P₁（2，2），P₂（3，4）．由此利用大三角形的面積及梯形和小三角形面積的差可求△OP₁P₂的面積．

解答：解：因為P₁（x₁，y₁）、P₂（x₂，y₂）是第一象限的兩個點，所以x₁，x₂，y₁，y₂均為正數，
由1，x₁，x₂，4依次成等差數列，設其公差為d，則4=1+3d，所以d=1，所以，x₁=2，x₂=3．
由1，y₁，y₂，8依次成等比數列，設其公比為q，則8=1×q³，所以q=2，所以y₁=2，y₂=4
所以P₁（2，2），P₂（3，4），
所以|OP1|=

22+22

=2

2

，|OP2|=

32+42

=5
|P1P2|=

(3-2)2+(4-2)2

=

5

，
所以cos∠P1OP2=

(2 2 )2+52- 5 2

2×2 2 ×5

=

7 2

10

所以sin∠P1OP2=

2

10

，
所以S△P1OP2=

1

2

×2

2

×5×

2

10

=1．
故答案為1．
故選A．

點評：本題考查等差數列和等比數列的性質，解題時要注意公式的靈活運用．