Question

如圖所示，在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H，I，J，L，M，N分別是所在棱的中點(diǎn)，求證：
（1）E，F(xiàn)，G，H，I，J共面；
（2）平面LMN∥平面EFGHIJ．

Answer 1

考點(diǎn)：平面與平面平行的判定,平面的基本性質(zhì)及推論

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）先證明EF、IH共面，同理證明EJ、GH共面，F(xiàn)G、JI共面，即得E，F(xiàn)，G，H，I，J共面；
（2）先證明MN∥平面HIJ，NL∥平面HIJ，再證明平面LMN∥平面EFGHIJ．

解答： 解：（1）證明：連接AC，A₁C₁，
∵AA₁∥CC₁，AA₁=CC₁，∴四邊形ACC₁A₁是平行四邊形，
∴AC∥A₁C₁，
又∵EF∥AC，IH∥A₁C₁，
∴EF∥IH，∴EF、IH共面；
同理，EJ、GH共面，F(xiàn)G、JI共面；
∴E，F(xiàn)，G，H，I，J共面；
（2）證明：∵M(jìn)N∥A₁C₁，IH∥A₁C₁，
∴MN∥IH，
又∵M(jìn)N?平面HIJ，IH?平面HIJ，
∴MN∥平面HIJ，
同理，NL∥平面HIJ，
且MN∩NL=N，MN?平面MNL，NL?平面MNL，
∴平面LMN∥平面EFGHIJ．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了空間中的共面關(guān)系的證明問(wèn)題，也考查了空間中的平行關(guān)系的判斷問(wèn)題，是綜合題．