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4.設(shè)P是棱長(zhǎng)相等的四面體內(nèi)任意一點(diǎn),則P到各個(gè)面的距離之和是一個(gè)定值,這個(gè)定值等于(  )
A.四面體的棱長(zhǎng)B.四面體的斜高
C.四面體的高D.四面體兩對(duì)棱間的距離

分析 棱長(zhǎng)相等的四面體是正四面體,設(shè)棱長(zhǎng)為a,由P是正四面體內(nèi)的一點(diǎn),知正四面體的體積等于四個(gè)三棱錐的體積和,由此能求出P到各個(gè)面的距離之和是一個(gè)定值,這個(gè)定值等于四面體的高.

解答 解:棱長(zhǎng)相等的四面體是正四面體,設(shè)棱長(zhǎng)為a,
∵P是正四面體內(nèi)的一點(diǎn),∴正四面體的體積等于四個(gè)三棱錐的體積和,
設(shè)它到四個(gè)面的距離分別為m,n,p,q,
棱長(zhǎng)為a的正四面體的四個(gè)面的面積都是S=12×a×a×sin60°=34a2
又頂點(diǎn)到底面的投影在底面的中心,此點(diǎn)到底面三個(gè)頂點(diǎn)的距離都是高的23
又高為a×sin60°=32a,
故底面中心到底面頂點(diǎn)的距離都是32a
由此知頂點(diǎn)到底面的距離是a233a2=63a
此正四面體的體積是13×34a2×63a=212a3
212a3=13×34a2(m+n+p+q),
解得m+n+p+q=63a
∴P到各個(gè)面的距離之和是一個(gè)定值,這個(gè)定值等于四面體的高.
故選:C.

點(diǎn)評(píng) 正四面體內(nèi)任意一點(diǎn)到各個(gè)面的距離之和的求法,是中檔題,解題時(shí)要認(rèn)真審題,注意空間思維能力的培養(yǎng).

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