Question

【題目】如圖，正方體ABCD﹣A1B1C1D1的棱長為2，點P為面ADD1A1的對角線AD1的中點．PM⊥平面ABCD交AD與M，MN⊥BD于N．

（1）求異面直線PN與A1C1所成角的大小；（結果可用反三角函數值表示）
（2）求三棱錐P﹣BMN的體積．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵點P為面ADD1A1的對角線AD1的中點，且PM⊥平面ABCD，

∴PM為△ADD1的中位線，得PM=1，

又∵MN⊥BD，

∴ ，

∵在底面ABCD中，MN⊥BD，AC⊥BD，

∴MN∥AC，

又∵A1C1∥AC，∠PNM為異面直線PN與A1C1所成角，

在△PMN中，∠PMN為直角， ，

∴ ．

即異面直線PN與A1C1所成角的大小為

（2）解： ， ，

代入數據得三棱錐P﹣BMN的體積為

【解析】（1）由已知易得M點為AD中點，MN//A1C1，∠PNM即為所求異面直線所求角或其補角，再在三角形PNM中求解.
（2） VP BMN = PM MN BN，代入數據即得三棱錐P﹣BMN的體積.
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解異面直線及其所成的角的相關知識，掌握異面直線所成角的求法：1、平移法：在異面直線中的一條直線中選擇一特殊點，作另一條的平行線；2、補形法：把空間圖形補成熟悉的或完整的幾何體，如正方體、平行六面體、長方體等，其目的在于容易發(fā)現兩條異面直線間的關系．