Question

營(yíng)養(yǎng)學(xué)家指出，成人良好的日常飲食應(yīng)該至少提供75g碳水化合物，60g的蛋白質(zhì)，60g的脂肪.1000g食物A含有105g碳水化合物，70g蛋白質(zhì)，140g脂肪，花費(fèi)28元；而1000g食物B含有105g碳水化合物，140g蛋白質(zhì)，70g脂肪，花費(fèi)21元．為了滿足營(yíng)養(yǎng)專家指出的日常飲食要求，同時(shí)使花費(fèi)最低，需要同時(shí)食用食物A和食物B多少g？花費(fèi)多少錢？

Answer 1

分析：利用線性規(guī)劃的思想方法解決某些實(shí)際問(wèn)題屬于直線方程的一個(gè)應(yīng)用．本題主要考查找出約束條件與目標(biāo)函數(shù)，準(zhǔn)確地描畫可行域，再利用圖形直線求得滿足題設(shè)的最優(yōu)解．

解答：解：設(shè)每天食用xkg食物A，ykg食物B，總成本為z．那么

0.105x+0.105y≥0.075 0.07x+0.14y≥0.06 0.14x+0.07y≥0.06 x≥0 y≥0

目標(biāo)函數(shù)為z=28x+21y
二元一次不等式組①等價(jià)于

7x+7y≥5 7x+14y≥6 14x+7y≥6 x≥0 y≥0

，
作出二元一次不等式組②所表示的平面區(qū)域，即可行域．
考慮z=28x+21y，當(dāng)然直線要與可行域相交，即在滿足約束條件時(shí)目標(biāo)函數(shù)z=28x+21y取得最小值．
由3.3-11可見(jiàn)，當(dāng)直線z=28x+21y經(jīng)過(guò)可行域上的點(diǎn)M時(shí)，截距最小，即z最小．
解方程組

7x+7y=5 14x+7y=6

得M的坐標(biāo)為x=

1

7

，y=

4

7

，
所以z_minz=28x+21y=16．
答：每天食用食物A約143g，食物B約571g，能夠滿足日常飲食要求，又使花費(fèi)最低，最低成本為16元．

點(diǎn)評(píng)：用圖解法解決線性規(guī)劃問(wèn)題時(shí)，分析題目的已知條件，找出約束條件和目標(biāo)函數(shù)是關(guān)鍵，可先將題目中的量分類、列出表格，理清頭緒，然后列出不等式組（方程組）尋求約束條件，并就題目所述找出目標(biāo)函數(shù)．然后將可行域各角點(diǎn)的值一一代入，最后比較，即可得到目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解．