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12.在四棱錐A-BCDE中,底面BCDE為菱形,側(cè)面ABE為等邊三角形,且側(cè)面ABE⊥底面BCDE,O,F(xiàn)分別為BE,DE的中點(diǎn).
(I)求證:AO⊥CD;
(II)求證:平面AOF⊥平面ACE.

分析 (I)由等邊三角形知識(shí)得AO⊥BE,利用面面垂直的性質(zhì)得出AO⊥平面BCDE,故而AO⊥CD;
(II)連結(jié)BD,由菱形性質(zhì)得出CE⊥BD,又AO⊥平面BCDE,故AO⊥CE,由中位線性質(zhì)得BD∥EF,故而CE⊥平面AOF,所以平面AOF⊥平面ACE.

解答 證明:(Ⅰ)因?yàn)椤鰽BE 為等邊三角形,O 為BE 的中點(diǎn),
所以AO⊥BE.又因?yàn)槠矫鍭BE⊥平面BCDE,平面ABE∩平面BCDE=BE,AO?平面ABE,
所以AO⊥平面BCDE.又因?yàn)镃D?平面BCDE,
所以AO⊥CD.
(Ⅱ)連結(jié)BD,因?yàn)樗倪呅蜝CDE 為菱形,
所以CE⊥BD.
因?yàn)镺,F(xiàn) 分別為BE,DE 的中點(diǎn),
所以O(shè)F∥BD,所以CE⊥OF.
由(Ⅰ)可知,AO⊥平面BCDE.
因?yàn)镃E?平面BCDE,所以AO⊥CE.
因?yàn)锳O∩OF=O,所以CE⊥平面AOF.
又因?yàn)镃E?平面ACE,
所以平面AOF⊥平面ACE.

點(diǎn)評(píng) 本題考查了線面垂直,面面垂直的判定,考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力,屬于中檔題.

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