Question

【題目】已知函數(shù)（）．

（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）函數(shù)在定義域內(nèi)存在零點，求的取值范圍．

（3）若，當時，不等式恒成立，求的取值范圍

Answer 1

【答案】（1）當時，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為，當時，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為；（2）；（3）．

【解析】

試題分析：（1）先求函數(shù)的導數(shù)，分和求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）將的零點問題，轉(zhuǎn)化

為，的問題，所以設函數(shù)（），求函數(shù)的導數(shù)，在定義域內(nèi)分析函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，根據(jù)單調(diào)性和極值點得到函數(shù)的最小值，然后再根據(jù)函數(shù)的變化速度分析函數(shù)沒有最大值，趨于正無窮大；（3）由（2）知，當時，，即，，先分析法證明：，．根據(jù)，將問題轉(zhuǎn)化為證明，然后結(jié)合（1）所討論的單調(diào)區(qū)間，求得滿足條件的的取值范圍．

試題解析：（1）由，則．

當時，對，有，所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增；

當時，由，得；由，得，

此時函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為．

綜上所述，當時，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為；

當時，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為．

（2）函數(shù)的定義域為，

由，得（）

令（），則，

由于，，可知當，；當時，，

故函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故．

又由（1）知當時，對，有，即，

（隨著的增長，的增長速度越來越快，會超過并遠遠大于的增長速度，而的增長速度則會越來越慢．則當且無限接近于0時，趨向于正無窮大．）

∴當時，函數(shù)有零點；

（3）由（2）知，當時，，即．

先分析法證明：．

要證只需證明即證

設，則

所以在時函數(shù)單調(diào)遞增，所以，則

當時，由（1）知，函數(shù)在單調(diào)遞增，則在恒成立；

當時，由（1）知，函數(shù)在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減．故當時，所以，則不滿足題意，舍去．

綜上，滿足題意的實數(shù)a的取值范圍為．