已知點(diǎn)(
 ,2  )
在冪函數(shù)f(x)的圖象上,點(diǎn)(-2 ,  
1
4
)
在冪函數(shù)g(x)的圖象上.
(1)求函數(shù)f(x),g(x)的解析式;
(2)判斷函數(shù)g(x)的單調(diào)性并用定義證明;
(3)問(wèn)x為何值時(shí)有f(x)≤g(x).
分析:(1)求函數(shù)f(x),g(x)的解析式,由于已知兩函數(shù)是冪函數(shù),故可用待定系數(shù)法設(shè)出兩函數(shù)的解析式,代入點(diǎn)的坐標(biāo)求出函數(shù)的解析式.
(2)由定義進(jìn)行證明即可;
由于兩個(gè)函數(shù)在第一象限一個(gè)是減函數(shù)一個(gè)是增函數(shù),故可令兩者相等,解出它們的交點(diǎn)坐標(biāo),再由函數(shù)的單調(diào)性得出f(x)≤g(x)的解集,由于兩函數(shù)都是偶函數(shù),可由對(duì)稱性得出函數(shù)在(-∞,0)上的解集,取兩者的并集即得不等式f(x)≤g(x)的解集,即得所求的x的取值范圍.
解答:解:(1)由題易得f(x)=x2 ,g(x)=x-2
(2)g(x)在(0,+∞)上為減函數(shù),在(-∞,0)上為增函數(shù)
證明:任取x1<x2<0,有g(x1)-g(x2)=
(x1+x2)(x2-x1)
x
2
1
x
2
2

∵x1+x2<0,x2-x1>0,x12x22>0
∴g(x1)-g(x2)<0
∴g(x)在(0,+∞)上為增函數(shù).
任取0<x1<x2,有g(x1)-g(x2)=
(x2+x1)(x2-x1)
x
2
1

∵x2+x1>0,x2-x1>0,x12x22>0
∴g(x1)>g(x2
∴g(x)在(0,+∞)上是減函數(shù).
(3)當(dāng)x>1或x<1時(shí),f(x)≤g(x),證明如下
由(1),兩函數(shù)都是偶函數(shù),先研究x>0時(shí)滿足f(x)≤g(x)的x的取值范圍.
令x2 =x-2,解得x=1,又f(x)=x2 在(0,+∞)上是增函數(shù),g(x)=x-2在(0,+∞)上是減函數(shù),故可得f(x)≤g(x)的x的取值范圍是x≤1
由兩函數(shù)的解析式知,此兩函數(shù)都是偶函數(shù),故當(dāng)x<0時(shí),f(x)≤g(x)的x的取值范圍是x≥-1
綜上當(dāng)-1≤x≤1時(shí),f(x)≤g(x)
點(diǎn)評(píng):本題考查冪函數(shù)單調(diào)性、奇偶性及其應(yīng)用,解題的關(guān)鍵是熟練掌握冪函數(shù)的性質(zhì),且能根據(jù)其性質(zhì)進(jìn)行運(yùn)算,本題考查到了函數(shù)的單調(diào)性的證明方法定義法,要注意證明的步驟
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x2
a2
+
y2
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=1上,則( 。

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2
,2)
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1
8
,
1
2
)
在冪函數(shù)g(x)的圖象上.
(1)求函數(shù)f(x),g(x)的解析式;
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,
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±1
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2-
2
2-
2

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