Question

【題目】已知函數(shù)．

（1）當時，討論的單調(diào)性；

（2）設(shè)函數(shù)，若存在不相等的實數(shù)，，使得，證明：．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）詳見解析.

【解析】

（1）對函數(shù)進行求導(dǎo)得，再對分三種情況進行討論；

（2）先求出，再對進行求導(dǎo)研究函數(shù)的圖象特征，當時，圖象在上是增函數(shù)，不符合題；當時，再將問題轉(zhuǎn)化為構(gòu)造函數(shù)進行求解證明.

（1）函數(shù)的定義域為.

，

因為，所以，

①當，即時，

由得或，由得，

所以在，上是增函數(shù)， 在上是減函數(shù)；

②當，即時，所以在上是增函數(shù)；

③當，即時，由得或，由得，所以在，.上是增函數(shù)，在.上是減函

綜上可知：

當時在，上是單調(diào)遞增，在上是單調(diào)遞減；

當時，在.上是單調(diào)遞增；

當時在，上是單調(diào)遞增，在上是單調(diào)遞減.

（2），，

當時， ，所以在上是增函數(shù)，故不存在不相等的實數(shù)，，使得，所以.

由得，即，

不妨設(shè)，則，

要證，只需證，即證，

只需證，令，只需證，即證，

令，則，

所以在上是增函數(shù)，所以，

從而，故.