Question

如圖，長為m+1（m＞0）的線段AB的兩個端點A和B分別在x軸和y軸上滑動，點M是線段AB上的一點，且

AM

=m

MB

．
（1）求點M的軌跡Γ的方程，并判斷軌跡Γ為何種圓錐曲線；
（2）設(shè)過點Q（

1

2

，0）且斜率不為0的直線交軌跡Γ于C，D兩點．設(shè)點P在x軸上，且恒滿足

S△PQC

S△PQD

=

|PC|

|PD|

，試求點P的坐標．

Answer 1

考點：軌跡方程

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）先確定A，B滿足的方程，再利用

AM

=m

MB

，確定M與A，B坐標之間的關(guān)系，代入可求點M的軌跡Γ的方程，分類討論，可判斷軌跡Γ為何種圓錐曲線；
（2）設(shè)直線CD的方程為x=ty+

1

2

，代入軌跡Γ的方程為x²+

y2

m2

=1消去x并化簡整理，利用韋達定理，利用

S△PQC

S△PQD

=

|PC|

|PD|

，可得k_PC+k_PD=0，即可得出結(jié)論．

解答： 解：（1）設(shè)A、B、M的坐標分別為（x₀，0）、（0，y₀）、（x，y），則x₀²+y₀²=（m+1）²，①（1分）
由

AM

=m

MB

，得（x-x₀，y）=m（-x，y₀-y），
∴x-x₀=-mx，y=m（y₀-y），
∴x₀=（m+1）x，y₀=

m+1

m

y②…（2分）
將②代入①，得（m+1）²x²+（

m+1

m

）²y²=（m+1）²，
化簡即得點M的軌跡Γ的方程為x²+

y2

m2

=1（m＞0）．…（4分）
當0＜m＜1時，軌跡Γ是焦點在x軸上的橢圓；
當m=1時，軌跡Γ是以原點為圓心，半徑為1的圓；
當m＞1時，軌跡Γ是焦點在y軸上的橢圓．       …（6分）
（2）依題意，設(shè)直線CD的方程為x=ty+

1

2

，
代入軌跡Γ的方程為x²+

y2

m2

=1消去x并化簡整理，得（m²t²+1）y²+m²ty-

3

4

m²=0，
△=m⁴t²+3m²（m²t²+1）＞0，設(shè)C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），則
y₁+y₂=-

m2t

m2t2+1

，y₁y₂=-

3m2

4(m2t2+1)

．         ③…（9分）
設(shè)定點P（a，0），若

S△PQC

S△PQD

=

|PC|

|PD|

，
則

1 2 |PQ||PC|sin∠CPQ

1 2 |PQ||PD|sin∠DPQ

=

|PC|

|PD|

，
∴sin∠CPQ=sin∠DPQ，
即直線PC、PD的傾斜角互補，
∴k_PC+k_PD=0，…（10分）
即

y1

x1-a

+

y2

x2-a

=0，
∵x₁=ty₁+

1

2

，x₂=ty₂+

1

2

，
∴

y1

ty1+ 1 2 -a

+

y2

ty2+ 1 2 -a

=0，
化簡，得4ty₁y₂+（1-2a）（ y₁+y₂）=0．           ④…（11分）
將③代入④，得

3m2t

m2t2+1

+

m2t(1-2a)

m2t2+1

=0，即2m²t（2-a）=0，
∵m＞0，∴t（2-a）=0，
∵上式對?t∈R都成立，∴a=2．
故定點P的坐標為（2，0）．…（12分）

點評：本題考查代入法求軌跡方程，考查向量知識，考查三角形面積的計算，考查學(xué)生分析解決問題的能力，考查韋達定理的運用，屬于難題．