Question

如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，平面A₁BC⊥側(cè)面A₁ABB₁，且AA₁=AB=2．
（1）求證：AB⊥BC；
（2）若直線AC與平面A₁BC所成的角為

π

6

，求銳二面角A-A₁C-B的大小．

Answer 1

考點：用空間向量求平面間的夾角,空間中直線與直線之間的位置關(guān)系

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）取A₁B的中點D，連接AD，由已知條件推導(dǎo)出AD⊥平面A₁BC，從而AD⊥BC，由線面垂直得AA₁⊥BC．由此能證明AB⊥BC．
（2）連接CD，由已知條件得∠ACD即為直線AC與平面A₁BC所成的角，∠AED即為二面角A-A₁C-B的一個平面角，由此能求出二面角A-A₁C-B的大小．

解答： （本小題滿分14分）
（1）證明：如右圖，取A₁B的中點D，連接AD，…（1分）
因AA₁=AB，則AD⊥A₁B…（2分）
由平面A₁BC⊥側(cè)面A₁ABB₁，
且平面A₁BC∩側(cè)面A₁ABB₁=A₁B，…（3分）
得AD⊥平面A₁BC，又BC?平面A₁BC，
所以AD⊥BC．…（4分）
因為三棱柱ABC---A₁B₁C₁是直三棱柱，
則AA₁⊥底面ABC，
所以AA₁⊥BC．
又AA₁∩AD=A，從而BC⊥側(cè)面A₁ABB₁，
又AB?側(cè)面A₁ABB₁，故AB⊥BC．…（7分）
（2）解：連接CD，由（1）可知AD⊥平面A₁BC，
則CD是AC在平面A₁BC內(nèi)的射影
∴∠ACD即為直線AC與平面A₁BC所成的角，則∠ACD=

π

6

…（8分）
在等腰直角△A₁AB中，AA₁=AB=2，且點D是A₁B中點
∴AD=

1

2

A1B=

2

，且∠ADC=

π

2

，∠ACD=

π

6

∴AC=2

2

…（9分）
過點A作AE⊥A₁C于點E，連DE
由（1）知AD⊥平面A₁BC，則AD⊥A₁C，且AE∩AD=A
∴∠AED即為二面角A-A₁C-B的一個平面角，…（10分）
且直角△A₁AC中：AE=

A1A•AC

A1C

=

2×2 2

2 3

=

2 6

3

又AD=

2

，∠ADE=

π

2

∴sin∠AED=

AD

AE

=

2

2 6 3

=

3

2

，
且二面角A-A₁C-B為銳二面角
∴∠AED=

π

3

，即二面角A-A₁C-B的大小為

π

3

．…（14分）

點評：本題考查異面直線垂直的證明，考查二面角的大小的求法，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．