已知函數(shù)f（x）=3x+
1
3x
．
（1）判斷函數(shù)f（x）的奇偶性；
（2）利用函數(shù)單調(diào)性的定義證明f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)．
考點(diǎn)：奇偶性與單調(diào)性的綜合
專題：計(jì)算題,證明題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用
分析：（1）求函數(shù)f（x）=3x+
1
3x
的定義域?yàn)镽，判斷f（-x）=3-x+
1
3-x
=
1
3x
+3x=f（x）即可；
（2）用定義法證明單調(diào)性一般可以分為五步，取值，作差，化簡(jiǎn)變形，判號(hào)，下結(jié)論．
解答： 解：（1）函數(shù)f（x）=3x+
1
3x
的定義域?yàn)镽，
且f（-x）=3-x+
1
3-x
=
1
3x
+3x=f（x），
則函數(shù)f（x）為偶函數(shù)．
（2）證明：任取x1，x2∈（0，+∞），且x1＜x2，則
f（x1）-f（x2）=3x1+
1
3x1
-（3x2+
1
3x2
）
=（3x1-3x2）（1-
1
3x13x2
）
∵0＜x1＜x2，
∴1＜3x1＜3x2，
∴3x1-3x2＜0，1-
1
3x13x2
＞0；
則f（x1）-f（x2）＜0，
則f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性的證明，奇偶性注意先求定義域，單調(diào)性證明一般有兩種方法，定義法，導(dǎo)數(shù)法．屬于基礎(chǔ)題．
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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

若-2＜x＜3，則
1
x
的范圍是（　　）
A、（-
1
3
，
1
2
）
B、（-∞，-3）∪（2，+∞）
C、(-∞，-
1
2
)∪(
1
3
，+∞)
D、（-3，2）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

圓錐軸截面的頂角是120°，過(guò)頂點(diǎn)的截面面積的最大值為8，則它的體積是（　�。�
A、4
3
π
B、8π
C、8
3
π
D、24π

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

設(shè)全集U=R，集合M={y|y=x2+2，x∈U}，集合N={y|y=10-3x，x∈M}，則M∪N等于（　　）
A、{1，3，2，6}
B、{x|2≤x≤4}
C、R
D、∅

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

在由三條直線x-y+2=0，x+y-4=0，x+2y+1=0圍成的三角形內(nèi)求一點(diǎn)，使其到三直線的距離相等．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=2
3
sinxcosx+2cos2x+1．
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期及單調(diào)減區(qū)間；
（2）f（x0）=
16
5
，x0∈[
π
4
，
π
2
]，求cos2x0的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

設(shè)函數(shù)f（x）=
x2+2x，x＜0
-x2，x≥0
，若f（f（a））≤3，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

設(shè)函數(shù)f（x）=a-
2
2x+1

（1）確定a的值，使f（x）為奇函數(shù)；
（2）求證：不論a為何實(shí)數(shù)f（x）總為增函數(shù)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

知函數(shù)f（x）=
(x-a)2(x≤0)
1
x
+x+a(x＞0)
的最小值為f（0），則a的取值范圍是（　　）
A、[-1，2]
B、[0，2]
C、[1，2]
D、[-1，0]

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