已知函數(shù)f（x）=x3-3x+4
（1）證明：函數(shù)y=f（x）在[1，+∞）上為增函數(shù)；
（2）證明：方程f（x）=0沒有大于1的根．
考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導數(shù)研究函數(shù)的極值
專題：導數(shù)的綜合應用
分析：（1）利用導數(shù)和函數(shù)的單調(diào)性的關系，繼而求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，問題得以證明；
（2）根據(jù)導數(shù)和函數(shù)的極值的關系，先求出極值，得到極值都大于0，故f（x）=0只有一個小于-1的實根，問題得以證明
解答： 證明：（1）∵f（x）=x3-3x+4，
∴f′（x）=3x2-3，
令f′（x）=0，解得x=-1，x=1
當f′（x）＞0時，即x＞1或x＜-1，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增，
∴函數(shù)y=f（x）在[1，+∞）上為增函數(shù)；
（2）由（1）知，函數(shù)f（x）在（-∞，-1）和（1，+∞）為增函數(shù)，在（-1，1）為減函數(shù)，
∴當x=-1時，函數(shù)有極大值，極大值為f（-1）=-1+3+4=6＞0，
當x=1時，函數(shù)有極小值，極小值為f（1）=1-3+4=2＞0
∴f（x）=0只有一個小于-1的實根，
∴方程f（x）=0沒有大于1的根．
點評：本題考查了導數(shù)和函數(shù)的單調(diào)性極值的關系，屬于中檔題
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=lnx-ax+
1-a
x
-1（a為正實數(shù)）
（1）設0＜a＜1時，試討論f（x）的單調(diào)性；
（2）設g（x）=x2-2bx+4，當a=
1
4
時，
①若?x1∈（0，2），存在x2∈[1，2]，使f（x1）≥g（x2），求實數(shù)b的取值范圍．
②對于任意x1，x2∈（1，2]都有|f（x1）-f（x2）|≤λ|
1
x1
-
1
x2
|，求λ的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知a，b，c均為非零實數(shù)，集合A={x|x=
|a|
a
+
b
|b|
+
ab
|ab|
}，則集合A的元素的個數(shù)為（　�。�
A、2B、3C、4D、5

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)F（x）=
f(x)
x
在定義域（0，+∞）內(nèi)為單調(diào)增函數(shù)，若f（x）=lnx+ax2，求a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知：cos4θ+sin4θ=
5
9
，求sin2θ的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=2sin（ωx），期中常數(shù)ω＞0．
（1）若ω=2，將函數(shù)y=f（x）的圖象向左平移
π
6
個單位，得到的函數(shù)y=g（x）的圖象，求g（x）；
（2）若y=f（x）在[-
π
4
，
2π
3
]上單調(diào)遞增，求ω的取值范圍；
（3）對（1）中個g（x），區(qū)間[a，b]（a，b∈R且a＜b）滿足：y=g（x）在[a，b]上至少含有30個零點，在所有滿足上述條件的[a，b]中，求b-a的最小值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知圓錐曲線C：
x=2cosα
y=
3
sinα
（α為參數(shù)）和定點A（0，
3
），F(xiàn)1、F2是此圓錐曲線的左、右焦點，以原點O為極點，以x軸的正半軸為極軸建立極坐標系．
（1）求直線AF2的直角坐標方程；
（2）經(jīng)過點F1且與直線AF2垂直的直線l交此圓錐曲線于M、N兩點，求||MF1|-|NF1||的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知雙曲線C的左右焦點為F1，F(xiàn)2，其中一條漸近線為y=
3
x，點A在雙曲線C上，若|F1A|=2|F2A|，則cos∠AF2F1=（　　）
A、
1
4
B、
1
3
C、
2
4
D、
2
3

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知等差數(shù)列{an}，公差d＜0，設bn=（
1
2
） an，又已知b1+b2+b3=
21
8
，b1•b2•b3=
1
8
．
（1）求證：數(shù)列{bn}是等比數(shù)列；
（2）求等差數(shù)列{an}的通項an．

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