Question

15．如圖，已知A（4，0）、B（0，4），從點(diǎn)P（2，0），點(diǎn)M是線段AB上一點(diǎn)，點(diǎn)N是y軸上一點(diǎn)，則|PM|+|PN|+|MN|的最小值是   （　　）

• A． 2$\sqrt{10}$
• B． 6
• C． 3$\sqrt{3}$
• D． 2$\sqrt{5}$

Answer 1

分析 點(diǎn)P關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)P′坐標(biāo)是（-2，0），設(shè)點(diǎn)P關(guān)于直線AB：x+y-4=0的對(duì)稱點(diǎn)P″（a，b），|PM|+|PN|+|MN|的最小值等于|P′P″|即可求解．

解答 解：點(diǎn)P關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)P′坐標(biāo)是（-2，0），設(shè)點(diǎn)P關(guān)于直線AB：x+y-4=0的對(duì)稱點(diǎn)P″（a，b），
由$\left\{\begin{array}{l}{\frac{b-0}{a-2}×（-1）=-1}\\{\frac{a+2}{2}+\frac{b+0}{2}-4=1}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=4}\\{b=2}\end{array}\right.$，
則P″（4，2）．
那么|PM|+|PN|+|MN|的最小值等于|P′P″|=$\sqrt{（4+2）^{2}+（0-2）^{2}}=2\sqrt{10}$．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱的問題，兩點(diǎn)之間的距離直線最短，利用對(duì)稱性把所有點(diǎn)在一條直線上．屬于中檔題．