Question

設(shè)S_n是數(shù)列{a_n}的前n項和，點P（a_n，S_n）在直線y=2x-2上（n∈N*）．
（I）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）記b_n=2（1），數(shù)列{b_n}的前n項和為T_n，求使T_n＞2011的n的最小值；
（Ⅲ）設(shè)正數(shù)數(shù)列{c_n}滿足，證明：數(shù)列{c_n}中的最大項是c₂．

Answer 1

解：（Ⅰ）依題意得s_n=2a_n-2，則n≥2時，s_n-1=2a_n-1-2∴n≥2時，s_n-s_n-1=2a_n-2a_n-1，即a_n=2a_n-1…（2分）
又n=1時，a₁=2∴數(shù)列{a_n}是以a₁=2為首項，以2為公比的等比數(shù)列∴…（4分）
（Ⅱ）依題∴…（7分）
由T_n＞2011，得，即
當n≤1006時，，當n≥1007時，，
因此n的最小值為1007 …（9分）
（Ⅲ）解法一：
由已知得，∴
令…（11分）
∵當x≥3，lnx＞1，則1-1nx＜0，
即f′（x）＜0
在[3，+∞）內(nèi)，f（x）為單調(diào)遞減函數(shù)∴n≥2時，{lnc_n}是遞減數(shù)列，即{c_n}是遞減數(shù)列…（13分）
∵，∴c₁＜c₂∴數(shù)列{c_n}中的最大項為…（14分）
解法二：由已知得，∴∵c_n＞0，∴
猜想…（11分）
下面用數(shù)學(xué)歸納法證明nⁿ⁺¹＞（n+1）ⁿ（n≥3）
①n=3時，nⁿ⁺¹=81＞64=（n+1）ⁿ．所以n=3時不等式成立
②假設(shè)n=k時，不等式成立．則有
當n=k+1時，
所以（k+1）^k+2＞（k+2）^k+1，即n=k+1時，不等式成立
由①②知nⁿ⁺¹＞（n+1）ⁿ對一切不小于3的正整數(shù)成立．
綜上所述n≥3時，c_n-1＞c_n，c₁＜c₂
所以數(shù)列中c₂最大．…（14分）
分析：（I）利用點在直線上，推出數(shù)列是等比數(shù)列，然后求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）求出b_n=2（1）的表達式，x寫出數(shù)列{b_n}的前n項和為T_n，然后直接求使T_n＞2011的n的最小值；
（Ⅲ）解法一，設(shè)正數(shù)數(shù)列{c_n}滿足，借助函數(shù)的單調(diào)性，利用導(dǎo)數(shù)直接證明數(shù)列{c_n}中的最大項是c₂．
解法二：直接利用數(shù)學(xué)歸納法證明，數(shù)列{c_n}中的最大項是c₂．
點評：本題考查數(shù)列的判定，通項公式的求法，數(shù)列的求和，數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用，以及數(shù)列的函數(shù)的特征，考查邏輯推理能力，計算能力．