直棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD是直角梯形,∠BAD=∠ADC=90°,AB=2AD=2CD=2.
(Ⅰ)求證:AC±平面BB1C1C;
(Ⅱ)A1B1上是否存一點P,使得DP與平面BCB1與平面ACB1都平行?證明你的結(jié)論.
證明:(Ⅰ)直棱柱ABCD-A1B1C1D1中,BB1⊥平面ABCD,∴BB1⊥AC.2分 又∵∠BAD=∠ADC=90°,AB=2AD=2CD=2, ∴AC=,∠CAB=45°,∴BC=,∴BC⊥AC.4分 又BB1∩BC=B,BB1,BC平面BB1C1C,∴AC⊥平面BB1C1C.6分 (Ⅱ)存在點P,P為A1B1的中點.7分 證明:由P為A1B1的中點,有PB1∥AB,且PB1=AB.8分 又∵DC∥AB,DC=AB,∴DC∥PB1,且DC=PB1, ∴DCB1P為平行四邊形,從而CB1∥DP.10分 又CB1∥ACB1,DP面ACB1,∴DP∥面ACB1.11分 同理,DP∥面BCB1.12分 |
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