Question

（2006•海淀區(qū)一模）已知四棱錐P-ABCD的底面是菱形，∠BCD=60°，PD⊥AD，點E是BC邊的中點，
（Ⅰ）求證：AD⊥平面PDE；
（Ⅱ）若二面角P-AD-C的大小等于60°，且AB=4，PD=

8 3

3

，
①求點P到平面ABCD的距離；
②求二面角P-AB-C的大小．

Answer 1

分析：（Ⅰ）連接BD，點E是BC邊的中點，得出DE⊥BC，DE⊥AD再由DP⊥AD，得出AD⊥平面PDE．
（Ⅱ）DE⊥AD，PD⊥AD，∠PDE為二面角P-AD-C的平面角．∠PDE=60°．過P在平面PDE內(nèi)做PK⊥DE于K，易證AD⊥PK．PK⊥面ABCD．PK為所求．
②先得出K為△BCD重心．連接BK，由△BCD為正三角形，得出BK為BP在面ABCD內(nèi)的射影．從而PB⊥AB，所以∠PBK為二面角P-AB-C的平面角．RT△PKB中求解．

解答：解：（Ⅰ）連接BD，底面ABCD是菱形，∠BDC=60°，∴△BCD是正三角形．
∵點E是BC邊的中點，∴DE⊥BC，∵AD∥BC，∴DE⊥AD．∵DP⊥AD，DP∩AD=D，∴AD⊥平面PDE；
（Ⅱ）①∵DE⊥AD，PD⊥AD，∴∠PDE為二面角P-AD-C的平面角．，∴∠PDE=60°．
過P在平面PDE內(nèi)做PK⊥DE于K，易證AD⊥PK．∴PK⊥面ABCD．∵PD=

8 3

3

，∴DK=

4 3

3

，PK=4
即點P到平面ABCD的距離是4．
②AB=4，∴DE=2

3

，∴DK=

2

3

DE，∴K為△BCD重心．
連接BK，∵△BCD為正三角形，所以BK為BP在面ABCD內(nèi)的射影．∴PB⊥AB，∠PBK為二面角P-AB-C的平面角．
在RT△PKB中，tan∠PKB=

PK

KB

=

PK

DK

=

3

，∠PKB=

π

3

，二面角P-AB-C的大小為

π

3

點評：本題考查空間直線、平面位置關(guān)系的判斷，空間角大小求解，考查空間想象能力、推理論證、計算、轉(zhuǎn)化能力．