Question

【題目】如圖，三棱錐P﹣ABC，側棱PA=2，底面三角形ABC為正三角形，邊長為2，頂點P在平面ABC上的射影為D，有AD⊥DB，且DB=1．
（Ⅰ）求證：AC∥平面PDB；
（Ⅱ）求二面角P﹣AB﹣C的余弦值；
（Ⅲ）線段PC上是否存在點E使得PC⊥平面ABE，如果存在，求 的值；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】證明：（Ⅰ）因為AD⊥DB，且DB=1，

AB=2，所以 ，

所以∠DBA=60°．

因為△ABC為正三角形，所以∠CAB=60°，

又由已知可知ACBD為平面四邊形，所以DB∥AC．

因為AC平面PDB，DB平面PDB，

所以AC∥平面PDB．

解：（Ⅱ）由點P在平面ABC上的射影為D可得PD⊥平面ACBD，

所以PD⊥DA，PD⊥DB．

如圖，以D為原點，DB為x軸，DA為y軸，DP為z軸，建立空間直角坐標系，

則由已知可知B（1，0，0）， ，P（0，0，1）， ．

平面ABC的法向量 =（0，0，1），

設 =（x，y，z）為平面PAB的一個法向量，則

由 ，得 ，令y=1，則 ，所以平面PAB的一個法向量 =（ ），

所以cos＜ ＞= = ，

由圖象知二面角P﹣AB﹣C是鈍二面角，所以二面角P﹣AB﹣C的余弦值為 ．

（Ⅲ）由（Ⅱ）可得 ， ，

因為 ，

所以PC與AB不垂直，

所以在線段PC上不存在點E使得PC⊥平面ABE．

【解析】（Ⅰ）推導出∠DBA=∠CAB=60°，ACBD為平面四邊形，從而DB∥AC．由此能證明AC∥平面PDB．（Ⅱ）由點P在平面ABC上的射影為D可得PD⊥平面ACBD，以D為原點，DB為x軸，DA為y軸，DP為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出二面角P﹣AB﹣C的余弦值．（Ⅲ）求出 ， ，由 ≠0，求出在線段PC上不存在點E使得PC⊥平面ABE．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解直線與平面平行的判定的相關知識，掌握平面外一條直線與此平面內的一條直線平行，則該直線與此平面平行；簡記為：線線平行，則線面平行．