【題目】某工藝品廠要設(shè)計一個如圖1所示的工藝品，現(xiàn)有某種型號的長方形材料如圖2所示，其周長為4m，這種材料沿其對角線折疊后就出現(xiàn)圖1的情況．如圖，ABCD（AB＞AD）為長方形的材料，沿AC折疊后AB'交DC于點P，設(shè)△ADP的面積為S2 ， 折疊后重合部分△ACP的面積為S1 ．
（Ⅰ）設(shè)AB=xm，用x表示圖中DP的長度，并寫出x的取值范圍；
（Ⅱ）求面積S2最大時，應(yīng)怎樣設(shè)計材料的長和寬？
（Ⅲ）求面積（S1+2S2）最大時，應(yīng)怎樣設(shè)計材料的長和寬？

【答案】解：（Ⅰ）由題意，AB=x，BC=2﹣x，∵x＞2﹣x，∴1＜x＜2

設(shè)DP=y，則PC=x﹣y，由△ADP≌△CB'P，故PA=PC=x﹣y，

由PA2=AD2+DP2，得（x﹣y）2=（2﹣x）2+y2

即： .

（Ⅱ）記△ADP的面積為S2，則 ．

當且僅當 時，S2取得最大值．

故當材料長為 ，寬為 時，S2最大．

（Ⅲ）

于是令 ，∴

∴關(guān)于x的函數(shù) 在 上遞增，在 上遞減，

∴當 時，S1+2S2取得最大值．

故當材料長為 ，寬為 時，S1+2S2最大


【解析】（Ⅰ）設(shè)DP=y，根據(jù)圖2將PC、AD用x，y表示，由圖1可知，則PA=PC，在中，根據(jù)勾股定理列出等式；（Ⅱ）利用均值定理即可求解；（Ⅲ）構(gòu)造函數(shù)F（t）=lnt-，利用導數(shù)討論函數(shù)F（t）的單調(diào)性.

練習冊系列答案
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（1）求p的值；
（2）過A，B分別作C的兩條切線l1 ， l2 ， l1∩l2=N．請選擇x，y軸中的一條，比較M，N到該軸的距離．

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A.圖象關(guān)于點（﹣ ，0）中心對稱
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C.圖象關(guān)于點（﹣ ，0）中心對稱
D.圖象關(guān)于x=﹣ 軸對稱

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【題目】將集合M={1，2，3，…15}表示為它的5個三元子集（三元集：含三個元素的集合）的并集，并且這些三元子集的元素之和都相等，則每個三元集的元素之和為；請寫出滿足上述條件的集合M的5個三元子集 ． （只寫出一組）

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【題目】如圖，三棱錐P﹣ABC，側(cè)棱PA=2，底面三角形ABC為正三角形，邊長為2，頂點P在平面ABC上的射影為D，有AD⊥DB，且DB=1．
（Ⅰ）求證：AC∥平面PDB；
（Ⅱ）求二面角P﹣AB﹣C的余弦值；
（Ⅲ）線段PC上是否存在點E使得PC⊥平面ABE，如果存在，求 的值；如果不存在，請說明理由．

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【題目】已知函數(shù)f（x）=x﹣1+aex ．
（1）若曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線平行于x軸，求a的值；
（2）求f（x）的極值；
（3）當a=1時，曲線y=f（x）與直線y=kx﹣1沒有公共點，求k的取值范圍．

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【題目】如圖，三棱錐P﹣ABC中，PA=PC，底面ABC為正三角形．

（Ⅰ）證明：AC⊥PB；
（Ⅱ）若平面PAC⊥平面ABC，AC=PC=2，求二面角A﹣PC﹣B的余弦值．

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