Question

已知sinα，cosα是方程25x²-5（2t+1）x+t²+t=0的兩根，且α為銳角．
（1）求t的值；
（2）求以為兩根的一元二次方程．

Answer 1

解：（1）∵sinα，cosα是方程25x²-5（2t+1）x+t²+t=0的兩根，
∴sinα+cosα=，sinα•cosα=
∴sin²α+cos²α=（sinα+cosα）²-2•sinα•cosα=（）²-2•=1
解得t=3，t=-4
又∵α為銳角
∴t＞0，故t=-4（舍去）
∴t=3，
（2）由（1）可得sinα+cosα==，sinα•cosα==
設(shè)以為兩根的一元二次方程為y²+by+c=0
則-b====
∴b=-
C===
∴以為兩根的一元二次方程
分析：（1）根據(jù)已知中sinα，cosα是方程25x²-5（2t+1）x+t²+t=0的兩根，由韋達(dá)定理可得sinα+cosα=，sinα•cosα=，根據(jù)sin²α+cos²α=（sinα+cosα）²-2•sinα•cosα=1，我們構(gòu)造關(guān)于t的方程，求出t的值；
（2）設(shè)以為兩根的一元二次方程為y²+by+c=0，由韋達(dá)定理分別求出b，c的值即可得到滿足條件的方程．
點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是三角函數(shù)恒等變換，韋達(dá)定理（一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系），熟練掌握韋定定理，是解答本題的關(guān)鍵，其中（1）中易忽略α為銳角，而錯(cuò)解為t=3，或t=-4．