Question

已知數(shù)列{a_n}中，a₁=1，a₁+2a₂+3a₃+…+na_n=
（1）求數(shù)列{a_n}的通項a_n；
（2）求數(shù)列{n²a_n}的前n項和T_n；
（3）若存在n∈N^*，使得a_n≥（n+1）λ成立，求實數(shù)λ的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）因為a₁+2a₂+3a₃+…+na_n=，所以a₁+2a₂+3a₃+…+（n-1）a_n-1=（n≥2．所以=3（n≥2）．由此能夠求出a_n．
（2）由（1）可知當n≥2n²a_n=2n•3^n-2．當n≥2時，T_n=1+4•3+6•3¹+…+2n•3^n-2，由錯位相減法得到（n≥2），又因為T₁=a₁=1也滿足上式，所以T_n=．
（3）a_n≥（n+1）λ等價于λ≤，當n≥2時，，設f（n）=，則f（n+1）-f（n）=＜0，由此能求出實數(shù)λ的取值范圍．
解答：解：（1）因為a₁+2a₂+3a₃+…+na_n=
所以a₁+2a₂+3a₃+…+（n-1）a_n-1=（n≥2）------------（1分）
兩式相減得na_n=
所以=3（n≥2）------------（2分）
因此數(shù)列{na_n}從第二項起，是以2為首項，以3為公比的等比數(shù)列
所以na_n=2•3^n-2（n≥2）----（3分）
故a_n=------------（4分）
（2）由（1）可知當n≥2n²a_n=2n•3^n-2
當n≥2時，T_n=1+4•3+6•3¹+…+2n•3^n-2，------------（5分）
∴3T_n=3+4•3¹+…+2（n-1）•3^n-2+2n•3^n-1，------------（6分）
兩式相減得（n≥2）------------（7分）
又∵T₁=a₁=1也滿足上式，------------（8分）
所以T_n=------------（9分）
（3）a_n≥（n+1）λ等價于λ≤，------------（10分）
由（1）可知當n≥2時，
設f（n）=，
則f（n+1）-f（n）=＜0，------------（12分）
∴，又及，------------（13分）
∴所求實數(shù)λ的取值范圍為λ≤------------（14分）
點評：本題首先考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的基本量、通項，結合含兩個變量的不等式的處理問題，對數(shù)學思維的要求比較高，要注意錯位相減求和法和轉化與化歸思想的合理運用，本題有一定的探索性．綜合性強，難度大，易出錯．