Question

已知數列{a_n}的首項為a₁=5，前n項和為S_n，且S_n+1=2S_n+n+5（n∈N₊）．
（1）求證：數列{a_n+1}成等比數列；
（2）設b_n=na_n，求{b_n}的前n項和為T_n．

Answer 1

考點：數列的求和,等比關系的確定

專題：等差數列與等比數列

分析：（1）由數列遞推式得到n≥2時，S_n=2S_n-1+n+4，和原遞推式聯立后得到a_n+1=2a_n+1．即可證得數列{a_n+1}成等比數列；
（2）由（1）中的等比數列求出數列{a_n}的通項公式，代入設b_n=na_n，分組后利用等差數列的前n項和與錯位相減法求{b_n}的前n項和為T_n．

解答： 解：（1）由已知S_n+1=2S_n+n+5（n∈N₊），
可得n≥2時，S_n=2S_n-1+n+4，兩式相減得S_n+1-S_n=2（S_n-S_n-1）+1，即a_n+1=2a_n+1．
從而a_n+1+1=2（a_n+1）（n≥2）．
當n=1時，S₂=2S₁+1+5，
∴a₂+a₁=2a₁+6，
又a₁=5，∴a₂=11．
從而a₂+1=2（a₁+1）．
故總有a_n+1+1=2（a_n+1），n∈N₊，
又a₁=5，a₁+1≠0，
從而數列{a_n+1}成等比數列；
（2）由（1）知a_n=3×2ⁿ-1，
∴b_n=na_n=3n•2ⁿ-n．
則T_n=3（1•2¹+2•2²+3•2³+…+n•2ⁿ）-（1+2+3+…+n）．
令Rn=1•21+2•22+…+n•2n，
則2Rn=1•22+2•23+…+n•2n+1，
作差得：-Rn=2+22+…+2n-n•2n+1=

2(1-2n)

1-2

-n•2n+1．
∴Rn=(n-1)2n+1+2．
∴Tn=3(n-1)2n+1+6-

n(n+1)

2

．

點評：本題考查了等比關系的確定，考查了錯位相減法求數列的和，是中檔題．