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如圖，四棱錐中，底面是平行四邊形，

底面

（Ⅰ）求證：；（Ⅱ）若，求二面角的余弦值；

（Ⅲ）當時，在線段上是否存在一點使二面角為，若存在，試確定點的位置；若不存在，請說明理由。

 

 

 

【答案】

（Ⅰ）證明：在中，

∵

∴

∴，得

又∵底面

∴斜線在底面內的射影為

∴由三垂線定理，得

故，                      …………………………………4分

（Ⅱ）以為原點，分別為軸、軸、軸建立空間直角坐標系，則

設是平面的法向量，則

取，得

∴是平面的一個法向量。

同理可求：是平面的一個法向量

∴………………………………7分

故，二面角的余弦值

（Ⅲ）顯然是平面的一個法向量，可是

因得從而，得

設是平面的法向量，同（Ⅱ）容易解得是平面 的一個法向量。

由題意，得  ………………12分

即，注意到解得

故，當點在線段上，且滿足時，二面角為

【解析】略

 

練習冊系列答案
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科目：高中數學 來源： 題型：

如圖，四棱錐中，底面ABCD是菱形，SA=SD=
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，AD=2
3
，且S-AD-B大小為120°，∠DAB=60°．
（1）求異面直線SA與BD所成角的正切值；
（2）求證：二面角A-SD-C的大�。�

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如圖，四棱錐中，底面為平行四邊形，，，⊥底面.①證明：平面平面； ②若二面角為，求與平面所成角的正弦值.

 

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科目：高中數學 來源：2011-2012學年河北省五校聯(lián)盟模擬考試理科數學試卷 題型：解答題

如圖，四棱錐中，底面為平行四邊形，，，⊥底面.

(1)證明：平面平面；

(2)若二面角為，求與平面所成角的正弦值。

 

 

 

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科目：高中數學 來源：黑龍江省10-11學年高一下學期期末考試數學（理） 題型：解答題

（本小題滿分12分）如圖，四棱錐中，底面為平行四邊形，,底面.

（1）證明：;

（2）若求二面角的余弦值.

 

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科目：高中數學 來源：2013屆山東省濟寧市高二3月月考理科數學試卷 題型：解答題

如圖，四棱錐中，底面為平行四邊形，，，⊥底面.

(1)證明：平面平面；

(2)若二面角為，求與平面所成角的正弦值。

 

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