Question

如圖，在半徑為3m的

1

4

圓形（O為圓心）鋁皮上截取一塊矩形材料OABC，其中點B在圓弧上，點A、C在兩半徑上，現將此矩形鋁皮OABC卷成一個以AB為母線的圓柱形罐子的側面（不計剪裁和拼接損耗），設矩形的邊長AB=xm，圓柱的體積為Vm³．
（1）寫出體積V關于x的函數關系式，并指出定義域；
（2）當x為何值時，才能使做出的圓柱形罐子體積V最大？最大體積是多少？

Answer 1

考點：導數在最大值、最小值問題中的應用,函數解析式的求解及常用方法

專題：應用題,導數的綜合應用

分析：（1）連接OB，在Rt△OAB中，由AB=x，利用勾股定理可得OA=

9-x2

，設圓柱底面半徑為r，則

9-x2

=2πr，即可得出r．利用V=πr²•x（其中0＜x＜30）即可得出．
（2）利用導數V′，得出其單調性，即可得出結論．

解答： 解：（1）連接OB，在Rt△OAB中，∵AB=x，∴OA=

9-x2

，
設圓柱底面半徑為r，則

9-x2

=2πr，
即4π²r²=9-x²，
∴V=πr²•x=

9x-x3

4π

，其中0＜x＜3．…（6分）
（2）由V′=

9-3x2

4π

=0及0＜x＜3，得x=

3

，…（8分）
列表如下：

x	（0， 3 ）	3	（ 3 ，3）
V′	+	0	-
V		極大值 3 3 2π

…（10分）
所以當x=

3

時，V有極大值，也是最大值為

3 3

2π

．…（14分）
答：當x為

3

m時，做出的圓柱形罐子體積最大，最大體積是

3 3

2π

m³．…（16分）

點評：熟練掌握勾股定理、圓柱的體積計算公式、利用導數研究函數的單調性極值與最值等是解題的關鍵．