Question

【題目】已知函數(shù)，，為的導函數(shù).

（1）討論的單調(diào)性；

（2）若，當時，求證:有兩個零點.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）證明見解析.

【解析】

（1）結(jié)合函數(shù)的導數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系，對進行分類討論，分為，，，幾種情形，即可求出函數(shù)的單調(diào)性；

（2）結(jié)合（1）中的結(jié)果可得的單調(diào)性，易得1為函數(shù)一個零點，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性及函數(shù)的零點判定定理可求.

（1）

①當時，令，得，令，得，

所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；

②當時，令，得，，

i）當時，，所以在上單調(diào)遞增；

ii）當時，令，得或；令，得，

所以在和單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減；

iii）當時，令，得或；令，得，

所以在和單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減；

綜上：①當時，在上單調(diào)遞增；在單調(diào)遞減；

②i）當時，在上單調(diào)遞增；

ii）當時，在和單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減；

iii）當時，在和單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減；

（2）當時，在與單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，

所以在與單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，

因為，所以是函數(shù)的一個零點，且，

當時，取且，

則，

所以，所以在恰有一個零點，

所以在區(qū)間有兩個零點.