Question

若不等式x-1≤x²+ax+b≤x（a≠1）的解集中恰有一個(gè)元素，則

a(2a-3)

b

的最大值為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：元素與集合關(guān)系的判斷

專(zhuān)題：計(jì)算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：由不等式不等式x-1≤x²+ax+b≤x（a≠1）的解集中恰有一個(gè)元素，分析a、b所滿足的條件，再求

a(2a-3)

b

的最大值．

解答： 解：由x-1≤x²+ax+b≤x，得：x²+ax-x+b+1≥0，x²+ax-x+b≤0
不等式x-1≤x²+ax+b≤x（a≠1）的解集中恰有一個(gè)元素，
∴（a-1）²-4（b+1）≤0且（a-1）²-4b=0，
∴b=

(a-1)2

4

，
∴

a(2a-3)

b

=

4a(2a-3)

(a-1)2

，
令t=a-1，則

a(2a-3)

b

=

4(t+1)(2t-1)

t2

=4（2+

1

t

-

1

t2

）=-4（

1

t

-

1

2

）²+9，
∴

1

t

=

1

2

時(shí)，

a(2a-3)

b

的最大值為9．
故答案為：9．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了一元二次不等式的解法，考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，考察了數(shù)形結(jié)合思想和數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想，解答此題的關(guān)鍵是由不等式x-1≤x²+ax+b≤x（a≠1）的解集中恰有一個(gè)元素得到a和b的關(guān)系，此題是中檔題．