Question

12．已知函數(shù)g（x）=$\frac{p+x}{x-2}$，且函數(shù)f（x）=log_ag（x）（a＞0，a≠1）奇函數(shù)而非偶函數(shù)．
（1）寫出f（x）在（a，+∞）上的單調(diào)性（不必證明）；
（2）當x∈（r，a-3）時，f（x）的取值范圍恰為（1，+∞），求a與r的值；
（3）設(shè)h（x）=$\sqrt{（x-2）g（x）}$-m（x+2）-2是否得在實數(shù)m使得函數(shù)y=h（x）有零點？若存在，求出實數(shù)m的取值范圍，若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）由奇函數(shù)的定義可得f（-x）=-f（x），進而可得g（x）g（-x）=1，解得p=2，再討論a＞1，0＜a＜1，結(jié)合復合函數(shù)的單調(diào)性可得f（x）的單調(diào)性；
（2）由題設(shè)x∈（r，a-3）時，f（x）的值的范圍恰為（1，+∞），可根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性確定出兩個參數(shù)a及r的方程，解方程得出兩個參數(shù)的值；
（3）實際上是根的存在性問題，可以通過等價轉(zhuǎn)化求解，結(jié)合換元法和二次函數(shù)的值域求法，即可得到m的值．

解答 解：（1）函數(shù)g（x）=$\frac{p+x}{x-2}$，且函數(shù)f（x）=log_ag（x）（a＞0，a≠1）奇函數(shù)而非偶函數(shù)，
可得f（-x）=-f（x），
即log_a$\frac{p-x}{-x-2}$=-log_a$\frac{p+x}{x-2}$，
可得$\frac{p+x}{x-2}$•$\frac{p-x}{-x-2}$=1，
即p²-x²=4-x²，
即p²=4，解得p=2（-2舍去），
即有f（x）=log_a$\frac{x+2}{x-2}$，
當a＞1時，f（x）在（2，+∞），（-∞，-2）遞減；
當0＜a＜1時，f（x）在（2，+∞），（-∞，-2）遞增．
（2）由（1）得f（x）=log_a$\frac{x+2}{x-2}$，
函數(shù)f（x）的定義域為（-∞，-2）∪（2，+∞）
又$\frac{x+2}{x-2}$≠1，得f（x）∈（-∞，0）∪（0，+∞），
令f（x）=1，則log_a$\frac{x+2}{x-2}$=1，解得x=$\frac{2+2a}{a-1}$．
所以：f（$\frac{2+2a}{a-1}$）=1，
當a＞1時，$\frac{2+2a}{a-1}$＞2，此時f（x）在（2，+∞）上的單調(diào)減函數(shù)．
所以：當x∈（2，$\frac{2+2a}{a-1}$）時，得f（x）∈1，+∞）；
由題意：r=2，那么a-3=$\frac{2+2a}{a-1}$，解得：a=3+2$\sqrt{2}$．
所以：當x∈（r，a-3），f（x）的取值范圍恰為（1，+∞）時，a和r的值分別為3+2$\sqrt{2}$和2；
（3）假設(shè)h（x）=$\sqrt{（x-2）g（x）}$-m（x+2）-2即
h（x）=$\sqrt{x+2}$-m（x+2）-2，存在實數(shù)m使得函數(shù)y=h（x）有零點．
由題意可知，方程$\sqrt{2+x}$=m（x+2）+2在{x|x≥-2且x≠2}中有實數(shù)解，
令$\sqrt{2+x}$=t，則t≥0且t≠2，
問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于t的方程mt²-t+2=0①，
有非負且不等于2的實數(shù)根．
若t=0，則①為2=0，顯然不成立，
故t≠0，方程①可變形為m=-2（$\frac{1}{t}$）²+$\frac{1}{t}$，
問題進一步轉(zhuǎn)化為求關(guān)于t的函數(shù)（t≥0且t≠2）的值域，
因為t≥0且t≠2，所以$\frac{1}{t}$＞0且$\frac{1}{t}$≠$\frac{1}{2}$，
所以m=-2（$\frac{1}{t}$）²+$\frac{1}{t}$∈（-∞，0）∪（0，$\frac{1}{8}$]，
所以實數(shù)m的取值范圍是（-∞，0）∪（0，$\frac{1}{8}$]．

點評 本題主要考查了函數(shù)的單調(diào)性以及根的存在性問題，比較復雜，但解題方法均為基本方法，要求掌握．