Question

已知拋物線C：x²=ay（a＞0），M為直線l：y=-1上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)M作拋物線C的兩條切線MA，MB，切點(diǎn)分別為A，B．
（Ⅰ）當(dāng)a=4且M的坐標(biāo)為（0，-1）時(shí)，求過M，A，B三點(diǎn)的圓的方程；
（Ⅱ）證明：直線AB恒過定點(diǎn)；
（Ⅲ）是否存在拋物線C，使得以A、B為直徑的圓恒過點(diǎn)M，若有，求出這樣的拋物線，若沒有，說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的關(guān)系,圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（Ⅰ）當(dāng)M的坐標(biāo)為（0，-1）時(shí)，設(shè)過M點(diǎn)的切線方程為y=kx-1，由

x2=4y y=kx-1

，消y得x²-4kx+4=0，由此利用根的判別式、圓的性質(zhì)，結(jié)合已知條件能求出過M，A，B三點(diǎn)的圓的方程．
（Ⅱ）設(shè)M（x₀，0），A（x₁，

1

a

x12），B（x₂，

1

a

x22），由y=

1

a

x2，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義推導(dǎo)出AB的方程為y=

2x0

a

x+1，由此能證明直線AB過定點(diǎn)（0，1）．
（Ⅲ）假設(shè)這樣的點(diǎn)存在，則

MA

•

MB

=0恒成立，從則(x1-x0，

1

a

x12+1)(x2-x0，

1

a

x22+1)=0恒成立，由此推導(dǎo)出這樣的拋物線存在，其方程為x²=4y．

解答： （Ⅰ）解：當(dāng)M的坐標(biāo)為（0，-1）時(shí)，
設(shè)過M點(diǎn)的切線方程為y=kx-1，
由

x2=4y y=kx-1

，消y得x²-4kx+4=0，（1）
令△=（4k）²-4×4=0，解得：k=±1，
代入方程（1），解得A（2，1），B（-2，1），
設(shè)圓心P的坐標(biāo)為（0，a），由|PM|=|PB|，得a+1=2，解得a=1，
故過M，A，B三點(diǎn)的圓的方程為x²+（y-1）²=4．…（4分）
（Ⅱ）證明：設(shè)M（x₀，0），A（x₁，

1

a

x12），B（x₂，

1

a

x22），
∵y=

1

a

x2，∴y′=

2

a

x，
∴直線MA，MB的方程為y=

2

a

x1x-

1

a

x12，y=

2

a

x2x-

1

a

x22，…（6分）
∵直線MA，MB過M點(diǎn)，∴-1=

2

a

x1x0-

1

a

x12，-1=

2

a

x2x0-

1

a

x22．
∴x₁，x₂滿足方程

1

a

x2-

2x0

a

x-1=0，…（8分）
∴x₁+x₂=2x₀，x₁x₂=-a，
∴AB的方程為y=

2x0

a

x+1，
∴直線AB過定點(diǎn)（0，1）．…（10分）
（Ⅲ）解：假設(shè)這樣的點(diǎn)存在，則

MA

•

MB

=0恒成立
∴(x1-x0，

1

a

x12+1)(x2-x0，

1

a

x22+1)=0恒成立，…（12分）
∴（

4

a

-1）x₀+4-a=0對任意的x₀恒成立，
∴a=4，這樣的拋物線存在，其方程為x²=4y．…（14分）

點(diǎn)評：本題考查過M，A，B三點(diǎn)的圓的方程的求法，考查直線AB恒過定點(diǎn)的證明，考查是否存在拋物線C，使得以A、B為直徑的圓恒過點(diǎn)M的判斷與求法，解題時(shí)要注意橢圓、圓、向量、導(dǎo)數(shù)等知識(shí)點(diǎn)的綜合運(yùn)用．