Question

已知橢圓中心在原點，左焦點與雙曲線x²-y²=2的左頂點重合，離心率e=

6

3

．
（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）已知直線l與橢圓相交于P，Q兩點，O為坐標(biāo)原點，若OP⊥OQ，試探究點O到直線l的距離是否為定值？若是，求出這個定值；若不是，說明理由．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（Ⅰ）設(shè)出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，由雙曲線方程求出c，結(jié)合離心率求得a，再由隱含條件求出b，則橢圓方程可求；
（Ⅱ）當(dāng)直線l的斜率存在時，設(shè)直線l的方程為y=kx+m，點P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），聯(lián)立直線方程和橢圓方程得到關(guān)于x的一元二次方程，利用根與系數(shù)關(guān)系求得P，Q兩點橫縱坐標(biāo)的積，由OP⊥OQ列式求得k與m的關(guān)系，然后由點到直線的距離公式求出點O到直線l的距離；當(dāng)直線l的斜率不存在時，由橢圓的對稱性結(jié)合OP⊥OQ直接求得P，Q的坐標(biāo)，求得點O到直線l的距離．

解答： 解：（Ⅰ）設(shè)橢圓方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，
∵雙曲線x²-y²=2的左頂點為(-

2

，0)，∴c=

2

，
由e=

c

a

=

6

3

得a=

3

6

c=

3

，b2=a2-c2=1，
故橢圓的方程為

x2

3

+y2=1；
（Ⅱ）當(dāng)直線l的斜率存在時，設(shè)直線l的方程為
y=kx+m，點P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
由

x2 3 +y2=1 y=kx+m

 整理得（1+3k²）x²+6kmx+3m²-3=0．
∴x1+x2=

3m2-3

1+3k2

，x1x2=

-6km

1+3k2

，
y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+km(x1+x2)+m2=k2•

3m2-3

1+3k2

+km•

-6km

1+3k2

+m2=

m2-3k2

1+3k2

．
∵

OP

⊥

OQ

，
∴x1x2+y1y2=

4m2-3k2-3

1+3k2

=0，
即4m²-3k²-3=0，∴m2=

3k2+3

4

．
設(shè)原點O到直線l的距離為d，
則d=

|m|

1+k2

=

m2 1+k2

=

3k2+3 4(1+k2)

=

3

2

．
當(dāng)直線l的斜率不存在時，
∵

OP

⊥

OQ

，根據(jù)橢圓的對稱性，不妨設(shè)直線OP，OQ的方程分別為y=x，y=-x，
可得P(-

3

2

，-

3

2

)，Q(-

3

2

，

3

2

)或P(

3

2

，

3

2

)，Q(

3

2

，-

3

2

)．
此時，原點O到直線l的距離仍為

3

2

．
綜上可得，點O到直線l的距離為定值

3

2

．

點評：本題主要考查了直線與橢圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，直線與曲線聯(lián)立，根據(jù)方程的根與系數(shù)的關(guān)系解題，是處理這類問題的最為常用的方法，但圓錐曲線的特點是計算量比較大，要求考試具備較強的運算推理的能力，是壓軸題．