Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n=n²+2n+1，若數(shù)列{b_n}滿足b_n=

2

an•an+1

，則其前n項(xiàng)和T_n=

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：由于S_n=n²+2n+1，利用“當(dāng)n≥2時，S_n-S_n-1，當(dāng)n=1時，a₁=S₁”即可得出a_n，再利用“裂項(xiàng)求和”即可得出．

解答： 解：∵S_n=n²+2n+1，
∴當(dāng)n≥2時，S_n-S_n-1=n²+2n+1-[（n-1）²+2（n-1）+1]=2n+1，
當(dāng)n=1時，a₁=S₁=3，上式也成立．
∴a_n=2n+1．
∴b_n=

2

an•an+1

=

2

(2n+1)(2n+3)

=

1

2n+1

-

1

2n+3

．
則其前n項(xiàng)和T_n=(

1

3

-

1

5

)+(

1

5

-

1

7

)+…+(

1

2n+1

-

1

2n+3

)
=

1

3

-

1

2n+3

=

2n

6n+9

．
故答案為：

2n

6n+9

．

點(diǎn)評：本題考查了利用“當(dāng)n≥2時，S_n-S_n-1，當(dāng)n=1時，a₁=S₁”求a_n、“裂項(xiàng)求和”的方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．