精英家教網 > 高中數學 > 題目詳情

【題目】已知函數f（x）=|x﹣ |﹣|2x+1|． （Ⅰ）求f（x）的值域；
（Ⅱ）若f（x）的最大值時a，已知x，y，z均為正實數，且x+y+z=a，求證： + + ≥1．

【答案】解：（Ⅰ）函數f（x）=|x﹣ |﹣|2x+1|= ， 函數的圖象如圖所示，則函數的值域為（﹣∞，1]；
（Ⅱ）證明：由題意x，y，z均為正實數，x+y+z=1，
由柯西不等式可得（x+y+z）（ + + ）≥（y+z+z）2=1，
∴ + + ≥1．
【解析】（Ⅰ）作出函數的圖象，即可求f（x）的值域；（Ⅱ）利用柯西不等式，即可證明結論．
【考點精析】利用不等式的證明對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知不等式證明的幾種常用方法:常用方法有：比較法（作差，作商法）、綜合法、分析法；其它方法有：換元法、反證法、放縮法、構造法，函數單調性法，數學歸納法等．

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知函數f（x）是定義在R上的奇函數，若g（x）=f（x+1）+5，g′（x）為g（x）的導函數，對x∈R，總有g′（x）＞2x，則g（x）＜x2+4的解集為 ．

查看答案和解析>>

科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知f（x）為偶函數，當x＜0時，f（x）=ln（﹣x）+3x，則曲線y=f（x）在點（1，﹣3）處的切線方程是 ．

查看答案和解析>>

科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知函數f（x）=（m+2cos2x）cos（2x+θ）為奇函數，且f（ ）=0，其中m∈R，θ∈（0，π）
（Ⅰ）求函數f（x）的圖象的對稱中心和單調遞增區(qū)間
（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，且f（ + ）=﹣ ，c=1，ab=2 ，求△ABC的周長．

查看答案和解析>>

科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】近年來，手機已經成為人們日常生活中不可缺少的產品，手機的功能也日趨完善，已延伸到了各個領域，如拍照，聊天，閱讀，繳費，購物，理財，娛樂，辦公等等，手機的價格差距也很大，為分析人們購買手機的消費情況，現對某小區(qū)隨機抽取了200人進行手機價格的調查，統(tǒng)計如下：

年齡 價格

5000元及以上

3000元﹣4999元

1000元﹣2999元

1000元以下

45歲及以下

12

28

66

4

45歲以上

3

17

46

24

（Ⅰ）完成關于人們使用手機的價格和年齡的2×2列聯(lián)表，再判斷能否在犯錯誤的概率不超過0.025的前提下，認為人們使用手機的價格和年齡有關？
（Ⅱ）從樣本中手機價格在5000元及以上的人群中選擇3人調查其收入狀況，設3人中年齡在45歲及以下的人數為隨機變量X，求隨機變量X的分布列及數學期望．
附K2=

P（K2≥k）

0.05

0.025

0.010

0.001

k

3.841

5.024

6.635

10.828

查看答案和解析>>

科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知函數 ，g（x）=x2eax（a＜0）． （Ⅰ）求函數f（x）的單調區(qū)間；
（Ⅱ）若對任意x1 ， x2∈[0，2]，f（x1）≥g（x2）恒成立，求a的取值范圍．

查看答案和解析>>

科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】甲、乙兩位同學參加數學文化知識競賽培訓．現分別從他們在培訓期間參加的若干次測試成績中隨機抽取8次，記錄如下： 甲：8281797895889384
乙：9295807583809085
（Ⅰ）用莖葉圖表示這兩組數據；
（Ⅱ）現要從中選派一人參加正式比賽，從所抽取的兩組數據分析，你認為選派哪位同學參加較為合適？并說明理由；
（Ⅲ）若對甲同學在今后的3次測試成績進行預測，記這3次成績中高于80分的次數為ξ（將甲8次成績中高于80分的頻率視為概率），求ξ的分布列及數學期望Eξ．

查看答案和解析>>

科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知g（x）是定義在R上的奇函數，且當x＜0時，g（x）=﹣ln（1﹣x），函數f（x）= ，若f（2﹣x2）＞f（x），則x的取值范圍是（ ）
A.（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）
B.（﹣∞，1）∪（2，+∞）
C.（﹣2，1）
D.（1，2）

查看答案和解析>>

科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】對于函數f（x）= ，有下列5個結論：
①任取x1 ， x2∈[0，+∞），都有|f（x1）﹣f（x2）|≤2；
②函數y=f（x）在區(qū)間[4，5]上單調遞增；
③f（x）=2kf（x+2k）（k∈N+），對一切x∈[0，+∞）恒成立；
④函數y=f（x）﹣ln（x﹣1）有3個零點；
⑤若關于x的方程f（x）=m（m＜0）有且只有兩個不同實根x1 ， x2 ， 則x1+x2=3．
則其中所有正確結論的序號是 ． （請寫出全部正確結論的序號）

查看答案和解析>>

同步練習冊答案