【題目】已知函數(shù)，其中是自然對數(shù)的底數(shù)，是函數(shù)的導(dǎo)數(shù).

（1）若是上的單調(diào)函數(shù)，求的值；

（2）當(dāng)時(shí)，求證：若，且，則.

【答案】（1），（2）證明見解析

【解析】

（1）對求導(dǎo)，可得，令則恒成立，由于，所以，即可求出結(jié)果.

（2）方法一：利用消元求導(dǎo)，由題意可得，

令，，不妨設(shè)，，

令，

原題即證明當(dāng)時(shí)，，利用導(dǎo)數(shù)在不等式中應(yīng)用，即可求出結(jié)果.

方法二：利用切線放縮法，化解過程同方法一，原題即證明當(dāng)時(shí)，，，注意到，求出在處的切線方程為.下面證明恒成立（）；令，然后再利用導(dǎo)數(shù)在不等式中應(yīng)用，和不等式放縮即可證明結(jié)果.

（1），，由題意恒成立，由于，所以，解得.

方法一：消元求導(dǎo)死算

（2），

令，，不妨設(shè)，，

令，

原題即證明當(dāng)時(shí)，，

，其中

，因?yàn)?/span>，所以當(dāng)時(shí)，，得證.

方法二：切線放縮

化解過程同上，原題即證明當(dāng)時(shí)，，，注意到，求出在處的切線方程，則，即，則：切線方程為.下面證明恒成立（）；令，則，得在恒成立，故在（）上單調(diào)遞增，恒成立，故恒成立，同理可證始終位于在處的切線的上方，即：（實(shí)際上與關(guān)于軸對稱），故恒成立，原不等式得證.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C1的極坐標(biāo)方程為，曲線C2的直角坐標(biāo)方程為.

（1）若直線l與曲線C1交于M、N兩點(diǎn)，求線段MN的長度；

（2）若直線l與x軸，y軸分別交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)P在曲線C2上，求的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】對數(shù)列，規(guī)定為數(shù)列的一階差分?jǐn)?shù)列，其中，規(guī)定為的二階差分?jǐn)?shù)列，其中.

（1）數(shù)列的通項(xiàng)公式，試判斷，是否為等差數(shù)列，請說明理由？

（2）數(shù)列是公比為的正項(xiàng)等比數(shù)列，且，對于任意的，都存在，使得，求所有可能的取值構(gòu)成的集合；

（3）各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，對滿足，的任意正整數(shù)、、，都有，且不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的最大值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某企業(yè)擬對某條生產(chǎn)線進(jìn)行技術(shù)升級，現(xiàn)有兩種方案可供選擇：方案是報(bào)廢原有生產(chǎn)線，重建一條新的生產(chǎn)線；方案是對原有生產(chǎn)線進(jìn)行技術(shù)改造．由于受諸多不可控因素的影響，市場銷售狀態(tài)可能會(huì)發(fā)生變化．該企業(yè)管理者對歷年產(chǎn)品銷售市場行情及回報(bào)率進(jìn)行了調(diào)研，編制出下表：

市場銷售狀態(tài)

暢銷

平銷

滯銷

市場銷售狀態(tài)概率

預(yù)期平均年利潤（單位：萬元）

方案

700

400

方案

600

300

（1）以預(yù)期平均年利潤的期望值為決策依據(jù)，問：該企業(yè)應(yīng)選擇哪種方案？

（2）記該生產(chǎn)線升級后的產(chǎn)品（以下簡稱“新產(chǎn)品”）的年產(chǎn)量為（萬件），通過核算，實(shí)行方案時(shí)新產(chǎn)品的年度總成本（萬元）為，實(shí)行方案時(shí)新產(chǎn)品的年度總成本（萬元）為．已知，．若按（1）的標(biāo)準(zhǔn)選擇方案，則市場行情為暢銷、平銷和滯銷時(shí)，新產(chǎn)品的單價(jià)（元）分別為60，，，且生產(chǎn)的新產(chǎn)品當(dāng)年都能賣出去．試問：當(dāng)取何值時(shí)，新產(chǎn)品年利潤的期望取得最大值？并判斷這一年利潤能否達(dá)到預(yù)期目標(biāo)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖,矩形中,,,為的中點(diǎn),點(diǎn),分別在線段,上運(yùn)動(dòng)（其中不與,重合,不與,重合）,且,沿將折起,得到三棱錐,則三棱錐體積的最大值為__________；當(dāng)三棱錐體積最大時(shí),其外接球的表面積的值為_______________.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】呼和浩特市地鐵一號線于2019年12月29日開始正式運(yùn)營有關(guān)部門通過價(jià)格聽證會(huì)，擬定地鐵票價(jià)后又進(jìn)行了一次調(diào)查.調(diào)查隨機(jī)抽查了50人，他們的月收入情況與對地鐵票價(jià)格態(tài)度如下表：

月收入（單位：百元）

認(rèn)為票價(jià)合理的人數(shù)

1

2

3

5

3

4

認(rèn)為票價(jià)偏高的人數(shù)

4

8

12

5

2

1

（1）若以區(qū)間的中點(diǎn)值作為月收入在該區(qū)間內(nèi)人的人均月收入求參與調(diào)查的人員中“認(rèn)為票價(jià)合理者”的月平均收入與“認(rèn)為票價(jià)偏高者”的月平均收入的差是多少（結(jié)果保留2位小數(shù)）；

（2）由以上統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)填寫下面列聯(lián)表分析是否有的把握認(rèn)為“月收入以5500元為分界點(diǎn)對地鐵票價(jià)的態(tài)度有差異”

月收入不低于5500元人數(shù)

月收入低于5500元人數(shù)

合計(jì)

認(rèn)為票價(jià)偏高者

認(rèn)為票價(jià)合理者

合計(jì)

附：

0.05

0.01

3.841

6.635

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)（且）的零點(diǎn)是.

（1）設(shè)曲線在零點(diǎn)處的切線斜率分別為，判斷的單調(diào)性；

（2）設(shè)是的極值點(diǎn)，求證：.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，在正方體中，，分別是棱，的中點(diǎn)，點(diǎn)在對角線上運(yùn)動(dòng).當(dāng)的面積取得最小值時(shí)，點(diǎn)的位置是（ ）

A.線段的三等分點(diǎn)，且靠近點(diǎn)B.線段的中點(diǎn)

C.線段的三等分點(diǎn)，且靠近點(diǎn)D.線段的四等分點(diǎn)，且靠近點(diǎn)

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】2017年春節(jié)期間，某服裝超市舉辦了一次有獎(jiǎng)促銷活動(dòng)，消費(fèi)每超過600元（含600元），均可抽獎(jiǎng)一次，抽獎(jiǎng)方案有兩種，顧客只能選擇其中的一種.

方案一：從裝有10個(gè)形狀、大小完全相同的小球（其中紅球3個(gè)，黑球7個(gè)）的抽獎(jiǎng)盒中，一次性摸出3個(gè)球，其中獎(jiǎng)規(guī)則為：若摸到3個(gè)紅球，享受免單優(yōu)惠；若摸出2個(gè)紅球則打6折，若摸出1個(gè)紅球，則打7折；若沒摸出紅球，則不打折.

方案二：從裝有10個(gè)形狀、大小完全相同的小球（其中紅球3個(gè)，黑球7個(gè)）的抽獎(jiǎng)盒中，有放回每次摸取1球，連摸3次，每摸到1次紅球，立減200元.

（1）若兩個(gè)顧客均分別消費(fèi)了600元，且均選擇抽獎(jiǎng)方案一，試求兩位顧客均享受免單優(yōu)惠的概率；

（2）若某顧客消費(fèi)恰好滿1000元，試從概率的角度比較該顧客選擇哪一種抽獎(jiǎng)方案更合算？

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