已知數(shù)列{an}中,a1=1,an+1=2an+1,bn=an+1.
(1)證明:數(shù)列{bn}是等比數(shù)列;
(2)令cn=
n+1an+1
,求數(shù)列{cn}的前n項和Sn
分析:(1)依題意,可證得
bn+1
bn
=2,從而證得數(shù)列{bn}是等比數(shù)列;
(2)由(1)可求得bn=2n,繼而可知an=2n-1,從而可得cn=
n+1
2n
,Sn=c1+c2+…+cn=
2
21
+
3
22
+…+
n+1
2n
,利用錯位相減法即可求得答案.
解答:解:(1)∵a1=1,an+1=2an+1,bn=an+1,an+1
bn+1
bn
=
an+1+1
an+1
=2,又b1=a1+1=2,
∴數(shù)列{bn}是首項為2,公比為2的等比數(shù)列;
(2)由(1)知,bn=2n,
∴an=2n-1;…(5分)
∴cn=
n+1
an+1
=
n+1
2n

∴Sn=c1+c2+…+cn=
2
21
+
3
22
+…+
n+1
2n
,①
1
2
Sn=
2
22
+
3
23
+…+
n
2n
+
n+1
2n+1
,②
①-②得:
1
2
Sn=
2
21
+
1
22
+
1
23
+…+
1
2n
-
n+1
2n+1

=
1
2
+
1
2
[1-(
1
2
)
n
]
1-
1
2
-
n+1
2n+1

=
1
2
+1-(
1
2
)
n
-
n+1
2n+1
,
∴Sn=3-(
1
2
)
n-1
-(n+1)•(
1
2
)
n
…(12分)
點評:本題考查數(shù)列的求和,考查等比關(guān)系的確定,突出考查錯位相減法的應(yīng)用,屬于中檔題.
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相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知數(shù)列{an}中,a1=1,an+1-an=
1
3n+1
(n∈N*)
,則
lim
n→∞
an
=
 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知數(shù)列{an}中,a1=1,an+1=
an
1+2an
,則{an}的通項公式an=
1
2n-1
1
2n-1

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知數(shù)列{an}中,a1=1,a1+2a2+3a3+…+nan=
n+1
2
an+1(n∈N*)

(1)求數(shù)列{an}的通項公式;
(2)求數(shù)列{
2n
an
}
的前n項和Tn

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知數(shù)列{an}中,a1=
1
2
,Sn
為數(shù)列的前n項和,且Sn
1
an
的一個等比中項為n(n∈N*
),則
lim
n→∞
Sn
=
1
1

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知數(shù)列{an}中,a1=1,2nan+1=(n+1)an,則數(shù)列{an}的通項公式為( 。
A、
n
2n
B、
n
2n-1
C、
n
2n-1
D、
n+1
2n

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