Question

已知函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜

π

2

）的圖象與y軸的交點為（0，1），它在y軸右側(cè)的第一個最高點和第一個最低點的坐標分別為（x₀，2）和（x₀+2π，-2）．
（Ⅰ）求f（x）的解析式及x₀的值；
（Ⅱ）求f（x）在[-π，π]上的最小值和最大值．

Answer 1

考點：函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（Ⅰ）由函數(shù)的圖象的頂點坐標求出A，由周期求出ω，根據(jù)特殊點的坐標求出φ的值，可得函數(shù)的解析式．
（Ⅱ）由 x∈[-π，π]，利用正弦函數(shù)的定義域和值域，求得f（x）在[-π，π]上的最小值和最大值．

解答： 解：（Ⅰ）由函數(shù)f（x）的圖象可得A=2，
再根據(jù)它在y軸右側(cè)的第一個最高點和第一個最低點的坐標分別為（x₀，2）和（x₀+2π，-2），
可得函數(shù)的周期為2×2π=4π=

2π

ω

，求得ω=

1

2

．
再根據(jù)函數(shù)f（x）的圖象與y軸的交點為（0，1），可得2sinφ=1，即 sinφ=

1

2

，結(jié)合，|φ|＜

π

2

，可得φ=

π

6

，
故函數(shù)f（x）=2sin（

1

2

x+

π

6

）．
把函數(shù)在y軸右側(cè)的第一個最高點（x₀，2）代入函數(shù)的解析式可得2sin（

1

2

x₀+

π

6

）=2，求得

1

2

x₀+

π

6

=

π

2

，∴x₀=

2π

3

．
（Ⅱ）∵x∈[-π，π]，可得

1

2

x+

π

6

∈[-

π

3

，

2π

3

]，∴sin（

1

2

x+

π

6

）∈[-

3

2

，1]，
故2sin（

1

2

x+

π

6

）的最大值為2，最小值為-

3

．

點評：本題主要考查由函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的部分圖象求解析式，正弦函數(shù)的定義域和值域，屬于基礎題．