已知矩形，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，將△沿折起到△的位置，使二面角是直二面角.


(1)證明：⊥面；
(2)求二面角的余弦值.

(1)證明見解析；(2).

解析試題分析：（1）一般是通過(guò)證明線面垂直得到線線垂直，即證明其中一條直線與另一條直線所在的平面垂直．（2）利用向量法求二面角的平面角，建立空間直角坐標(biāo)系利用向量的一個(gè)運(yùn)算求出兩個(gè)平面的法向量，進(jìn)而求出二面角的余弦值.
試題解析：(1)∵AD=2AB=2，E是AD的中點(diǎn)，
∴△BAE，△CDE是等腰直角三角形，∠BEC=90°，
又∵平面D'EC⊥平面BEC，面D'EC∩面BEC=EC
∴BE⊥面D'EC，∴BE⊥CD’．
又CD’⊥ED’,且BE∩ED’=E,故CD′⊥面BED’                 4分
(2)法一：設(shè)M是線段EC的中點(diǎn)，過(guò)M作MF⊥BC
垂足為F，連接D’M，D'F,則D'M⊥EC.
∵平面D'EC⊥平面BEC∴D'M⊥平面EBC
∴MF是D'F在平面BEC上的射影，由三垂線定理得：D'F⊥BC
∴∠D'FM是二面D'-BC-E的平面角．    8分
在Rt△D'MF中，,
,
∴二面角D’-BC—E的余弦值為                    12分，
法二：如圖，以EB，EC為x軸、y軸，過(guò)E垂直于平面BEC的射線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系．

則
設(shè)平面BEC的法向量為；平面D'BC的法向量為
,
    取x2=l
得
∴二面角D'-BC-E的余弦值為      12分
考點(diǎn)：1.用空間向量求平面間的夾角；2.直線與平面垂直的性質(zhì)

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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

（本小題滿分12分）在三棱柱中，側(cè)面為矩形，，，為的中點(diǎn)，與交于點(diǎn)，側(cè)面.

（1）證明：；
（2）若，求直線與平面所成角的正弦值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

如圖，在四棱錐中，平面ABCD，底面ABCD是菱形，，.

（1）求證：平面PAC；
（2）若，求與所成角的余弦值；
（3）當(dāng)平面PBC與平面PDC垂直時(shí)，求PA的長(zhǎng).

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

如圖，在三棱錐中，平面，，為側(cè)棱上一點(diǎn)，它的正（主）視圖和側(cè)（左）視圖如圖所示.

（1）證明：平面；
（2）在的平分線上確定一點(diǎn)，使得平面，并求此時(shí)的長(zhǎng).

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

正方形ADEF與梯形ABCD所在平面互相垂直，，，，點(diǎn)M在線段EC上且不與E，C重合.

（Ⅰ）當(dāng)點(diǎn)M是EC中點(diǎn)時(shí)，求證：平面ADEF；
（Ⅱ）當(dāng)平面BDM與平面ABF所成銳二面角的余弦值為時(shí)，求三棱錐M BDE的體積.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

如圖，在長(zhǎng)方體，中，，點(diǎn)在棱AB上移動(dòng).

（Ⅰ）證明：；
（Ⅱ）求點(diǎn)到平面的距離；
（Ⅲ）等于何值時(shí)，二面角的大小為

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

右圖是一個(gè)直三棱柱（以為底面）被一平面所截得到的幾何體，截面為．已知，，，，．

（1）設(shè)點(diǎn)是的中點(diǎn)，證明：平面；
（2）求二面角的大�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

如圖,是邊長(zhǎng)為3的正方形，，,與平面所成的角為.

(1)求二面角的的余弦值;
(2)設(shè)點(diǎn)是線段上一動(dòng)點(diǎn)，試確定的位置，使得，并證明你的結(jié)論.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

如圖，在四棱錐中，為平行四邊形，且，，為的中點(diǎn)，，．

（Ⅰ）求證：//；
（Ⅱ）求三棱錐的高．

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