Question

斜率為

2

2

的直線l與橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）交于不同的兩點(diǎn)A、B．若點(diǎn)A、B在x軸上的射影恰好為橢圓的兩個焦點(diǎn)．
（1）求橢圓的離心率；
（2）P是橢圓上的動點(diǎn)，若△PAB面積最大值是4

2

，求該橢圓的方程．

Answer 1

考點(diǎn)：橢圓的簡單性質(zhì),橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）畫出圖形，結(jié)合圖形，得出直線與橢圓兩交點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)兩點(diǎn)間的斜率公式，求出離心率e；
（2）由（1）知，設(shè)出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

x2

2c2

+

y2

c2

=1，求出|AB|的值，利用三角形的面積求出高h(yuǎn)；再求點(diǎn)P到直線的最大距離d，由此求出c即可．

解答： 解：（1）由題意知：直線與橢圓兩交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為-c，c，縱坐標(biāo)分別為-

b2

a

，

b2

a

，
∴由

b2 a -(- b2 a )

c-(-c)

=

2

2

轉(zhuǎn)化為：2b²=2（a²-c²）=

2

ac
即2e²+

2

e-2=0，
解得e=

2

2

，e=-

2

（負(fù)根舍去），
∴橢圓的離心率為e=

2

2

；
（2）∵P是橢圓上的動點(diǎn)，當(dāng)△PAB的面積最大值是4

2

時，
有

1

2

|AB|h=4

2

，
∵e=

2

2

，∴b=c，
∴a=

2

c；
∴設(shè)橢圓的方程為

x2

2c2

+

y2

c2

=1，
則|AB|=

6

c，
∴三角形PAB的高為h=

8

3 c

；
又直線為y=

2

2

x，
即

2

x-2y=0；
則點(diǎn)P（

2

ccosθ，csinθ）到直線的距離表示為
d=

|2ccosθ-2csinθ|

2+4

=

2 2 csin(θ- π 4 )

6

≤

2 2 c

6

，
令

2 2 c

6

=

8

3 c

，
解得c=2，
∴橢圓的方程為

x2

8

+

y2

4

=1．

點(diǎn)評：本題考查了橢圓的幾何性質(zhì)及直線的斜率公式和離心率公式的應(yīng)用問題，也考查了點(diǎn)到直線的距離公式的應(yīng)用問題，是難題．