Question

已知S_n是等比數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和．
（Ⅰ）若S₃=3a₁，求{a_n}的公比q；
（Ⅱ）若S₃，S₉，S₆成等差數(shù)列，求證：a₂，a₈，a₅成等差數(shù)列．

Answer 1

考點(diǎn)：等差數(shù)列的性質(zhì),等比數(shù)列的性質(zhì)

專題：計(jì)算題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）S₃=3a₁，可得q²+q-2=0，即可求{a_n}的公比q；
（Ⅱ）由等比數(shù)列的定義，驗(yàn)證得當(dāng)q=1時(shí)不符合題意，因此得q≠1．再由等比數(shù)列的求和公式，結(jié)合S₃、S₉、S₆成等差數(shù)列建立關(guān)于q的方程，解之即可得到q³的值，由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，從而化簡(jiǎn)得a₂+a₅-2a₈=0，所以a₂，a₈，a₅成等差數(shù)列．

解答： 解：（Ⅰ）S₃=3a₁，∴q²+q-2=0，∴q=1或2；
（Ⅱ）當(dāng)q=1時(shí)，S₃=3a₁、S₉=9a₁、S₆=6a₁，
顯然S₃、S₉、S₆不能成等差數(shù)列，不符合題意，因此得q≠1 
由S₃、S₉、S₆成等差數(shù)列，得2S₉=S₃+S₆
即整理得2q⁶-q³-1=0，解q³=1或-

1

2

，
∵q=1時(shí)，2S₉=S₆+S₃不成立
∴q³=-

1

2

，
可得a₂+a₅-2a₈=a₂（1+q³-2q⁶）=a₂（1-

1

2

-2×

1

4

）=0
∴a₂+a₅=2a₈，即a₂，a₈，a₅成等差數(shù)列．

點(diǎn)評(píng)：本題給出等比數(shù)列的前3項(xiàng)和、前6項(xiàng)和與前9項(xiàng)和成等差數(shù)列，求它的公比并證明a₂，a₈，a₅也成等差數(shù)列．著重考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式，考查了等差中項(xiàng)的概念，屬于中檔題．