Question

已知直線l是y=sinx+3cosx在x=

π

4

處的切線，點(diǎn)（sinn

π

2

，an+

2 π

4

）在直線l上，則數(shù)列{a_n}的前30項(xiàng)和為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列與三角函數(shù)的綜合,利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：由導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出直線l的方程為y=-

2

（x-

π

4

）+2

2

，把點(diǎn)（sinn

π

2

，an+

2 π

4

）代入直線l，得a_n=2

2

-

2

sin

nπ

2

，由sin

nπ

2

的取值是1，0，-1，0的循環(huán)，能求出數(shù)列{a_n}的前30項(xiàng)和．

解答： 解：∵y=sinx+3cosx，∴y|

π

4

=sin

π

4

+3cos

π

4

=2

2

，
y′=cosx-3sinx，y′|

π

4

=cos

π

4

-3sin

π

4

=-

2

，
∵直線l是y=sinx+3cosx在x=

π

4

處的切線，
∴直線l的方程為y=-

2

（x-

π

4

）+2

2

，
∵點(diǎn)（sinn

π

2

，an+

2 π

4

）在直線l上，
∴a_n=2

2

-

2

sin

nπ

2

，
sin

nπ

2

的取值是1，0，-1，0的循環(huán)，
∴數(shù)列{a_n}的前30項(xiàng)和：
S₃₀=30×2

2

-

2

[7（1+0-1+0）+1+0]=59

2

．
故答案為：59

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的前30項(xiàng)和的求法，是中檔題，解題時(shí)要注意導(dǎo)數(shù)的幾何意義、三角函數(shù)的周期性的合理運(yùn)用．