Question

【題目】某工廠有120名工人，其年齡都在20~ 60歲之間，各年齡段人數(shù)按[20，30），[30，40），[40，50)，[50，60]分成四組，其頻率分布直方圖如下圖所示．工廠為了開發(fā)新產(chǎn)品，引進(jìn)了新的生產(chǎn)設(shè)備，要求每個工人都要參加A、B兩項培訓(xùn)，培訓(xùn)結(jié)束后進(jìn)行結(jié)業(yè)考試。已知各年齡段兩項培訓(xùn)結(jié)業(yè)考試成績優(yōu)秀的人數(shù)如下表所示。假設(shè)兩項培訓(xùn)是相互獨立的，結(jié)業(yè)考試也互不影響。

年齡分組	A項培訓(xùn)成績 優(yōu)秀人數(shù)	B項培訓(xùn)成績 優(yōu)秀人數(shù)
[20，30）	27	16
[30，40）	28	18
[40，50)	16	9
[50，60]	6	4

（1）若用分層抽樣法從全廠工人中抽取一個容量為40的樣本，求四個年齡段應(yīng)分別抽取的人數(shù)；

（2）根據(jù)頻率分布直方圖，估計全廠工人的平均年齡；

（3）隨機從年齡段[20，30）和[40，50）中各抽取1人，設(shè)這兩人中A、B兩項培訓(xùn)結(jié)業(yè)考試成績都優(yōu)秀的人數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.

Answer 1

【答案】（1）12，14，8，6；（2）37歲；（3）見解析.

【解析】分析：（1）由頻率分布直方圖得各年齡段的頻率，分別乘以40即可得人數(shù)；

（2）將各年齡段的中點值乘以頻率累加可得平均年齡；

（3）先分別計算年齡在[20，30）和年齡段[40，50）的工人A、B兩項培訓(xùn)結(jié)業(yè)考試成績都優(yōu)秀的概率，由題設(shè)知，X的可能取值為0，1，2，進(jìn)而求概率可得分布列，利用期望公式可得期望.

詳解：(1)由頻率分布直方圖可知，年齡段[20，30），[30，40），[40，50)，[50,60]的人數(shù)的頻率分別為0.3，0.35，0.2，0.15.

因為40×0.3=12，40×0.35 =14，40×0.2=8，40×0.15 =6，

所以年齡段[20，30），[30，40），[40，50），[50，60]應(yīng)抽取人數(shù)分別為12，14，8，6．

(2)因為各年齡段的中點值分別為25，35，45，55，對應(yīng)的頻率分別為0.3，0.35，0.2，0.15，則25×0.3+35×0.35 +45×0.2+55×0.15= 37.由此估計全廠工人的平均年齡約為37歲.

(3)因為年齡在[20，30）的工人數(shù)為120×0.3=36，從該年齡段任取1人，由表知，此人A項培訓(xùn)結(jié)業(yè)考試成績優(yōu)秀的概率為，B項培訓(xùn)結(jié)業(yè)考試成績優(yōu)秀的概率為，

所以A、B兩項培訓(xùn)結(jié)業(yè)考試成績都優(yōu)秀的概率為.

因為年齡段[40，50）的工人數(shù)為120×0.2=24，從該年齡段任取1人，由表知，此人A項培訓(xùn)結(jié)業(yè)考試成績優(yōu)秀的概率為 ，B項培訓(xùn)結(jié)業(yè)考試成績優(yōu)秀的概率為，所以A、B兩項培訓(xùn)結(jié)業(yè)考試成績都優(yōu)秀的概率為．

由題設(shè)知，X的可能取值為0，1，2．

其中，

，

，

所以X的分布列如下表：

X	0	1	2
P

所以.