如圖,底面為平行四邊形的四棱柱ABCD-A′B′C′D′,DD′⊥底面ABCD,∠DAB=60°,AB=2AD,DD′=3AD,E、F分別是AB、D′E的中點(diǎn).
(Ⅰ)求證:DF⊥CE;
(Ⅱ)求二面角A-EF-C的余弦值.

【答案】分析:(Ⅰ)證明CE⊥DE,CE⊥DD′,從而可得CE⊥平面DD′E,進(jìn)而可得CE⊥DF;
(Ⅱ)取AE中點(diǎn)H,分別以DH、DC、DD'所在直線為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系,用坐標(biāo)表示點(diǎn)與向量,求得平面AEF的法向量,平面CEF的法向量,利用向量夾角公式,即可求得二面角A-EF-C的余弦值.
解答:(Ⅰ)證明:∵AD=AE,∠DAE=60°∴△DAE為等邊三角形,
設(shè)AD=1,則,∴∠DEC=90°,
即CE⊥DE.     …(3分)
∵DD'⊥底面ABCD,CE?平面ABCD,∴CE⊥DD′.
∵DE∩DD′=D
∴CE⊥平面DD′E
∵DF?平面DD′E
∴CE⊥DF.   …(6分)
(Ⅱ)解:取AE中點(diǎn)H,則,
又∠DAE=60°,所以△DAE為等邊三角形,則DH⊥AB,DH⊥CD.
分別以DH、DC、DD'所在直線為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系,
設(shè)AD=1,則
設(shè)平面AEF的法向量為,則,取.  …(10分)
平面CEF的法向量為,則,取.   …(12分)

∵二面角A-EF-C為鈍二面角
∴二面角A-EF-C的余弦值為.   …(15分)
點(diǎn)評:本題考查線面垂直、線線垂直、考查面面角,解題的關(guān)鍵是掌握線面垂直的判定,正確求出平面的法向量,屬于中檔題.
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如圖,底面為平行四邊形的四棱柱ABCD-A′B′C′D′,DD′⊥底面ABCD,∠DAB=60°,AB=2AD,DD′=3AD,E、F分別是AB、D′E的中點(diǎn).
(Ⅰ)求證:DF⊥CE;
(Ⅱ)求二面角A-EF-C的余弦值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2013-2014學(xué)年安徽省六校教育研究會高三2月聯(lián)考文科數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:解答題

如圖,在底面為平行四邊形的四棱柱,底面,,,

(Ⅰ)求證:平面平面;

(Ⅱ),求四棱錐的體積.

 

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如圖,在底面為平行四邊形的四棱柱中,底面,,,

(Ⅰ)求證:平面平面

(Ⅱ)若,求四棱錐的體積.

 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2014屆廣東高三六校第一次聯(lián)考文科數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:解答題

如圖,在底面為平行四邊形的四棱柱中,底面,,,

(1)求證:平面平面;

(2)若,求四棱錐的體積.

 

 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2013屆江蘇省高二上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:解答題

(本小題滿分14分)如圖,在底面為平行四邊形的四棱錐中,,平面,且,點(diǎn)的中點(diǎn).

求證:(1) 平面;        

(2)平面

 

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